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初等函数

对于初等函数（如多项式、指数、对数、三角函数等），它们在其定义域内本身就是连续的，因此无需额外证明。

求导判别

如果函数可导，并且其导数在定义域内存在且连续，那么函数就是连续的。

ε-δ定义：如果对于任何给定的ε>0，都存在一个δ>0，使得对于所有满足|x-a|<δ的x，都有|f(x)-f(a)|<ε，则称这个函数在点x=a处连续。

闭区间连续

如果函数在闭区间上连续，那么它必然也是一致连续的。

利普希茨连续

如果存在一个正常数K，使得对于所有x和y，都有|f(x) - f(y)| ≤ K|x - y|，那么函数f就是利普希茨连续的。