人教A版高中数学选修4-5全册试卷课时提升作业十二4.1（Word含解析）.doc

课时提升作业 十二
数学归纳法
基础过关
一、选择题(每小题6分,共18分)
1.设f(n)=1n+1+1n+2+1n+3+…+12n(n∈N+),在利用数学归纳法证明时,从n=k到n=k+1需添的项为(　　)
A.12k+1 B.12k+2
C.12k+1+12k+2 D.12k+1-12k+2
【解析】选D.因为f(k)=1k+1+1k+2+…+12k
所以f(k+1)=1k+2+1k+3+…+12k+12k+1+12k+2
故需添的项为12k+1+12k+2-1k+1=12k+1-12k+2.
【误区警示】本题易错选C.忽略了n=k+1时少了一项1k+1.
【拓展延伸】数学归纳法解决项数问题
数学归纳法证明中的项数问题,重点看从n=k到n=k+1时项数的变化规律,多了哪些项,少了哪些项,把握好项的规律,利用数列知识解决.
2.用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”,第二步归纳假设应写成　(　　)
A.假设n=2k+1(k∈N+)正确,再推n=2k+3正确
B.假设n=2k-1(k∈N+)正确,再推n=2k+1正确
C.假设n=k(k∈N+)正确,再推n=k+1正确
D.假设n=k(k≥1)正确,再推n=k+2正确
【解析】选B.首先要注意n为奇数,其次还要使n=2k-1能取到1.
3.设平面内有k条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点,设k条直线的交点个数为f(k),则f(k+1)与f(k)的关系是　(　　)
A.f(k+1)=f(k)+k+1 B.f(k+1)=f(k)+k-1
C.f(k+1)=f(k)+k D.f(k+1)=f(k)+k+2
【解析】选C.当n=k+1时,任取其中1条直线,记为l,则除l外的其他k条直线的交点的个数为f(k),因为已知任何两条直线不平行,所以直线l必与平面内其他k条直线都相交(有k个交点);又因为已知任何三条直线不过同一点,所以上面的k个交点两两不相同,且与平面内其他的f(k)个交点也两两不相同,从而平面内交点的个数是f(k)+k=f(k+1).
二、填空题(每小题6分,共12分)
4.已知a1=12,an+1=3anan+3,猜想an=__________.
【解析】由a1=12,an+1=3anan+3,得a2=37,a3=38,a4=39,猜想得an=3n+5.
答案:3n+5
5.用数学归纳法证明:“当n为正偶数时,xn-yn能被x+y整除”时,第一步应验证n=______时,命题成立;第二步归纳假设成立应写成__________.
【解析】因为n为正偶数,第一步应验证n=2时,命题成立;第二步归纳假设成立应写成“假设当n=k(k为偶数且k≥2)时xk-yk能被x+y整除”.
答案:2　假设当n=k(k为偶数且k≥2)时xk-yk能被x+y整除
三、解答题(每小题10分,共30分)
6.用数学归纳法证明:
1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)(n+3)4(n∈N+).
【证明】(1)当n=1时,左边=1×2×3=6,右边=1×2×3×44=6,等式成立.
(2)假设当n=k时成立.即
1×2×