人教版初中数学题型09 几何类比、拓展、探究题（解析版）.docx

备战2020年中考数学十大题型专练卷
题型09 几何类比、拓展、探究题
一、解答题
1．如图1，（）绕点顺时针旋转得，射线交射线于点．
（1）与的关系是　 　；
（2）如图2，当旋转角为60°时，点，点与线段的中点恰好在同一直线上，延长至点，使，连接．
①与的关系是　 　，请说明理由；
②如图3，连接，若，，求线段的长度．
【答案】（1）；（2）①或，理由见解析；②
【分析】（1）如图1，与的交点记作点，由旋转的性质与三角形内角和定理得到，即可求解；
（2）①如图2，连接，由旋转的性质及全等三角形的性质得到∽，故，即可证明≌，再得到，即可得到结论；
②由①得，，由角度的关系得到，
再 证明，再利用等腰三角形的性质得到，再利用直角三角形三角函数求出，即可求出AE的长.
【详解】解：（1）如图1，
与的交点记作点，由旋转知，，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）①或，
理由：如图2，连接，由旋转知，，，，
∴是等边三角形，∴，
∵，
∴∽，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵，，
∴≌（），
∴，
∴，
∴，
∴或，
故答案为：或；
②由①知，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
由①知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
在中，，，
在中，，
∴，
∴．
【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知等腰三角形、直角三角形、相似三角形的判定与性质及三角函数进行求解.
2．（问题）
如图1，在中，，过点作直线平行于．，点在直线上移动，角的一边始终经过点，另一边与交于点，研究和的数量关系．
（探究发现）
（1）如图2，某数学兴趣小组运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点移动到使点与点重合时，通过推理就可以得到，请写出证明过程；
（数学思考）
（2）如图3，若点是上的任意一点（不含端点），受（1）的启发，这个小组过点作交于点，就可以证明，请完成证明过程；
（拓展引申）
（3）如图4，在（1）的条件下，是边上任意一点（不含端点），是射线上一点，且，连接与交于点，这个数学兴趣小组经过多次取点反复进行实验，发现点在某一位置时的值最大．若，请你直接写出的最大值．
【答案】【探究发现】（1）见解析；【数学思考】（2）见解析；【拓展引申】（3）时，有最大值为2．
【分析】根据等腰三角形的性质及平行的定义即可解得
根据证明即可推出
过点作交于点，连接，可证明，再推出即可得=，则.
【详解】证明：【探究发现】
（1）∵
∴
∵
∴，且
∴
∴
即
【数学思考】
（2）∵
∴
∴，
∵
∴，且，
∴
∴
【拓展引申】
（3）如图4，过点作交于点，连接，
∵，
∴
∵
∴
∴
∴，且
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴点，点，点，点四点共圆，
∴
∴，且
∴
∴
∴
∴
∴时，有最大值为2．
【点睛】本题考查等腰三角形，解题关键在于熟练掌握等腰三角形的性质.
3．小波在复****时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．
   (1)温故：如图 1，在△ABC中，AD⊥BC 于点D，正方形PQMN 的边QM在BC上，顶点P ，N 分别在AB， AC上，若BC=6 ，AD=4，求正方形 PQMN的边长．
  (2)操作：能画出这类正方形吗?小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图 2，任意画△ABC，在AB上任取一点P′，画正方形 P′Q′M′N′ ，使Q′,M′在BC边上， N′在△ABC 内，连结B N′ 并延长交AC 于点N，画NM⊥BC于点M，NP⊥NM 交AB于点P，PQ⊥BC 于点Q，得到四边形 PQMN．小波把线段BN 称为“波利亚线”．
 (3)推理：证明图2 中的四边形  PQMN 是正方形．
 (4)拓展：在(2)的条件下，于波利业线B N 上截取NE=NM ，连结EQ ，EM(如图 3)．当tan∠NBM=  时，猜想∠QEM的度数，并尝试证明．
请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．
【答案】（1）温故：；（3）推理：四边形PQMN为正方形.见解析；（4）拓展：猜想，理由见解析.
【分析】（1）根据，列比例式求解即可；
（3）由作法知四边形PQMN为矩形，通过三角形相似证明,,从而，可证四边形PQMN为正方形；
（4）