人教版初中数学专题26 菱形（解析版）.docx

专题26 菱形问题
1.菱形的定义 ：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2.菱形的性质
菱形的四条边都相等；
（2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
3.菱形的判定定理
（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
（3）四条边相等的四边形是菱形。
4．菱形的面积：S=ah=mn/2（菱形底边长为a，高为h，两条对角线长分别为m和n）
【例题1】（2020•牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点，AD∥x轴且AD＝4，∠A＝60°，将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是（　　）
A．（0，23） B．（2，﹣4）
C．（23，0） D．（0，23）或（0，﹣23）
【答案】D
【解析】分点C旋转到y轴正半轴和y轴负半轴两种情况分别讨论，结合菱形的性质求解．
根据菱形的对称性可得：当点D在x轴上时，
A、B、C均在坐标轴上，如图，
∵∠BAD＝60°，AD＝4，
∴∠OAD＝30°，
∴OD＝2，
∴AO=42-22=23=OC，
∴点C的坐标为（0，-23），
同理：当点C旋转到y轴正半轴时，
点C的坐标为（0，23），
∴点C的坐标为（0，23）或（0，-23）.
【对点练****2019泸州）一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为（　　）
A．8 B．12 C．16 D．32
【答案】C
【解析】如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO=12AC，DO＝BO=12BD，AC⊥BD，
∵面积为28，
∴12AC•BD＝2OD•AO＝28 ①
∵菱形的边长为6，
∴OD2+OA2＝36 ②，
由①②两式可得：（OD+AO）2＝OD2+OA2+2OD•AO＝36+28＝64．
∴OD+AO＝8，
∴2（OD+AO）＝16，即该菱形的两条对角线的长度之和为16．
【例题2】（2020•营口）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，其中OA＝1，OB＝2，则菱形ABCD的面积为　 　．
【答案】4
【解析】根据菱形的面积等于对角线之积的一半可得答案．
∵OA＝1，OB＝2，
∴AC＝2，BD＝4，
∴菱形ABCD的面积为12×2×4＝4．
【对点练****2019湖北十堰）如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若OE＝3，则菱形的周长为　 　 　．
【答案】24
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，BO＝DO，
∵点E是BC的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴CD＝2OE＝2×3＝6，
∴菱形ABCD的周长＝4×6＝24
【例题3】（2020•福建）如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF．求证：∠BAE＝∠DAF．
【答案】见解析。
【解析】根据菱形的性质可得∠B＝∠D，AB＝AD，再证明△ABE≌△ADF，即可得∠BAE＝∠DAF．
证明：四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D，AB＝AD，
在△ABE和△ADF中，
AB=AD∠B=∠DBE=DF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴∠BAE＝∠DAF．
【对点练****2019湖南岳阳）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为AD、CD边上的点，DE＝DF，
求证：∠1＝∠2．
【答案】见解析．
【解析】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，
在△ADF和△CDE中，，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴∠1＝∠2．
一、选择题
1．（2020•黄冈）若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（　　）
A．4：1 B．5：1 C．6：1 D．7：1
【答案】B
【解析】如图，AH为菱形ABCD的高，AH＝2，利用菱形的性质得到AB＝4，利用正弦的定义得到∠B＝30°，则∠C＝150°，从而得到∠C：∠B的比值．
如图，AH为菱形ABCD的高，AH＝2，
∵菱形的周长为16，
∴AB＝4，
在Rt△ABH中，sinB=AHAB=24=12，
∴∠B＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠C＝150°，
∴∠C：∠B＝5：1．
2．（2020•盐城）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为BC中点，AC＝6，BD＝8．则线段OH的长为（　　）