人教版初中数学专题27 相似（解析版）.docx

专题27 相似
知识点1：相似三角形定义
对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。互为相似形的三角形叫做相似三角形
知识点2：相似三角形的判定:
定理1.平行于三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似；
定理2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似；
定理3.如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似；
定理4.如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似；
定理5.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
定理6.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。
知识点3：相似三角形的性质:
性质1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。
性质2.相似三角形周长的比等于相似比。
性质3.相似三角形面积的比等于相似比的平方。
知识点4：位似
1.位似图形、位似中心、位似的定义
每幅图的两个多边形不仅相似，而且对应定点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，这点叫做位似中心。这时我们说这两个图形关于这点位似。
2.位似比
两个相似图形的相似比，成为位似比。
3.位似图形的性质。
4.要知道用位似将一个图形放大或者缩小的办法。能说出平移、轴对称、旋转和位似之间的异同，并举出一些他们的实际应用的例子。
一、用思维导图记忆本单元知识内在联系
二、以一道几何题解法为例，说明添加辅助线，构造相似形的方法和技巧．
已知：如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D．
求证： BC2＝2CD·AC．
整体分析：欲证 BC2＝2CD·AC，只需证．但因为结论中有“2”，无法直接找到它们所在的相似三角形，因此需要结合图形特点及结论形式，通过添加辅助线，对其中某一线段进行倍、分变形，构造出单一线段后，再证明三角形相似．由“2”所放的位置不同，证法也不同．
证法一（构造2CD）：如图，我们很容易想到，在AC截取DE＝DC，（或者说在AC上取一点E，使得CD=DE, 这样就有CE=2CD）
∵BD⊥AC于D，
∴BD是线段CE的垂直平分线，
∴BC=BE，∴∠C=∠BEC，
又∵ AB＝AC，
∴∠C=∠ABC．
∴ △BCE∽△ACB．
∴， ∴
∴BC2＝2CD·AC．
证法二（构造2AC）：如图，在CA的延长线上截取AE＝AC，连结BE，得到△EBC．
∵ AB＝AC，
∴ AB＝AC=AE．
∴∠EBC=90°，
又∵BD⊥AC．
∴∠EBC=∠BDC=∠EDB=90°，
∴∠E=∠DBC，
∴△EBC∽△BDC
∴即
∴BC2＝2CD·AC．
证法三（构造） ：如图，取BC的中点E，连结AE，则EC=．
又∵AB=AC，
∴AE⊥BC，∠ACE=∠C
∴∠AEC=∠BDC=90°
∴△ACE∽△BCD．
∴即．
∴BC2＝2CD·AC．
证法四（构造）：如图，取BC中点E，连结DE，则CE= ．
∵BD⊥AC，∴BE=EC=ED，
∴∠EDC=∠C
又∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，
∴△ABC∽△EDC．
∴，即．
∴BC2＝2CD·AC．
说明：此题充分展示了添加辅助线，构造相似形的方法和技巧．在解题中方法要灵活，思路要开阔．
【例题1】（2020•重庆）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（1，2），B（1，1），C（3，1），以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF的长度为（　　）
A．5 B．2 C．4 D．25
【答案】D
【解析】把A、C的横纵坐标都乘以2得到D、F的坐标，然后利用两点间的距离公式计算线段DF的长．
∵以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2：1，
而A（1，2），C（3，1），
∴D（2，4），F（6，2），
∴DF=(2-6)2+(4-2)2=25．
【例题2】（2020•盐城）如图，BC∥DE，且BC＜DE，AD＝BC＝4，AB+DE＝10．则AEAC的值为　 　．
【解析】2
【分析】由平行线得三角形相似，得出AB•DE，进而求得A