人教版初中数学专题05 图形运动中的函数关系问题（解析版）.doc

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专题五 图形运动中的函数关系问题
【考题研究】
在图形运动的问题中，随着图形的运动，图形中的线段长度、面积大小都在变化，从而找出这些变化的规律就是近年来中考出现的大量图形运动问题的题目.解图形运动问题关系的关键是用含自变量x的代数式表示出有关的量，如与x有关的线段长，面积的大小等. 这类题考查学生数形结合、化归、分类讨论、方程等数学思想.
【解题攻略】
图形运动的过程中，求两条线段之间的函数关系，是中考数学的热点问题．
产生两条线段间的函数关系，常见的情况有两种，一是勾股定理，二是比例关系．还有一种不常见的，就是线段全长等于部分线段之和．
由勾股定理产生的函数关系，在两种类型的题目中比较常用．
类型一，已知“边角边”，至少一边是动态的，求角的对边．如图1，已知点A的坐标为(3, 4)，点B是x轴正半轴上的一个动点，设OB＝x，AB＝y，那么我们在直角三角形ABH中用勾股定理，就可以得到y关于x的函数关系式．
类型二，图形的翻折．已知矩形OABC在坐标平面内如图2所示，AB＝5，点O沿直线EF翻折后，点O的对应点D落在AB边上，设AD＝x，OE＝y，那么在直角三角形AED中用勾股定理就可以得到y关于x的函数关系式．
由比例线段产生的函数关系问题，在两种类型的题目中比较常用．
一是由平行线产生的对于线段成比例，二是相似三角形的对应边成比例．
一般步骤是先说理产生比例关系，再代入数值或表示数的字母，最后整理、变形，根据要求写出定义域．
关键是寻找比例关系，难点是有的整理、变形比较繁琐，容易出错．
【解题类型及其思路】
图形运动的过程中，求面积随某个量变化的函数关系，是中考数学的热点问题．
计算面积常见的有四种方法，一是规则图形的面积用面积公式；二是不规则图形的面积通过割补进行计算；三是同高（或同底）三角形的面积比等于对应边（或高）的比；四是相似三角形的面积比等于相似比的平方．
前两种方法容易想到，但是灵活使用第三种和第四种方法，可以使得运算简单．
一般情况下，在求出面积S关于自变量x的函数关系后，会提出在什么情况下（x为何值时），S取得最大值或最小值．
【典例指引】
类型一 【确定图形运动中的线段的函数关系式及其最值】
【典例指引1】如图，在中，，，，点分别是边上的动点（点不与重合），且，过点作的平行线，交于点，连接，设为．
（1）试说明不论为何值时，总有∽；
（2）是否存在一点，使得四边形为平行四边形，试说明理由；
（3）当为何值时，四边形的面积最大，并求出最大值．
【答案】（1）见解析；（2）当时，四边形为平行四边形；（3）当时，四边形的面积最大，最大值为．
【解析】
【分析】
（1）根据题意得到∠MQB=∠CAB，根据相似三角形的判定定理证明；
（2）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形解答；
（3）根据勾股定理求出BC，根据相似三角形的性质用x表示出QM、BM，根据梯形面积公式列出二次函数解析式，根据二次函数性质计算即可．
【详解】
解：（1）∵，
∴，
∴，又，
∴∽；
（2）当时，四边形为平行四边形，
∵，，
∴四边形为平行四边形；
（3）∵，
∴，
∵∽，
∴，即，
解得，，
∵，
∴，即，
解得，，
则四边形的面积，
∴当时，四边形的面积最大，最大值为．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定、二次函数的性质，掌握相似三角形的判定定理、二次函数的性质是解题的关键．
【举一反三】
如图1，在矩形中，，，是边上一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上点处，延长交的延长线于点．
（1）求线段的长；
（2）如图2，，分别是线段，上的动点（与端点不重合），且，设，．
①写出关于的函数解析式，并求出的最小值；
②是否存在这样的点，使是等腰三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）①当时，有最小值，最小值；②存在．满足条件的的值为或．
【解析】
【分析】
由翻折可知：，设，则在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
证明∽，可得，由此即可解决问题．
有两种情形：如图中，当时如图中，当时，作于分别求解即可解决问题．
【详解】
解：（1）如图1中，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
由翻折可知：．，设，则．
在中，，
∴，
在中，则有：，
∴，
∴．
（2）①如图2中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，