人教版数学类型四 抛物线型问题（解析版）.doc

类型四 抛物线形问题
例1、已知平面直角坐标系（如图1），直线的经过点和点.
（1）求、的值；
（2）如果抛物线经过点、，该抛物线的顶点为点，求的值；
图1
O
x
y
（3）设点在直线上，且在第一象限内，直线与轴的交点为点，如果，求点的坐标.
【答案】：（1） （2）（3）（4,8）
【解析】：（1） ∵直线的经过点
∴
∴
∵直线的经过点
∴
∴
（2）由可知点的坐标为
∵抛物线经过点、
∴
∴，
∴抛物线的表达式为
∴抛物线的顶点坐标为
∴,,
∴
∴
∴
∴
（3）过点作轴，垂足为点，则∥轴
∵,
∴△∽△
∴
∵直线与轴的交点为点
∴点的坐标为,
又，
∴，
∵
∴,
∵∥轴
∴
∴
∴
即点的纵坐标是
又点在直线上
点的坐标为
例2、如图在直角坐标平面内，抛物线与y轴交于点A，与x轴分别交于点
B（-1，0）、点C（3，0），点D是抛物线的顶点.
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）联结AD、DC，求的面积；
备用图
第2题图
（3）点P在直线DC上，联结OP，若以O、P、C为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标．

【答案】（1）（1，-4）（2）3（3）或
【解析】：（1） 点B（-1，0）、C（3，0）在抛物线上
∴，解得
∴抛物线的表达式为，顶点D的坐标是（1，-4）
（2）∵A（0，-3），C（3，0），D（1，-4） ∴，，
∴ ∴
∴
（3）∵，，
∴△CAD∽△AOB，∴
∵OA=OC， ∴
∴，即
若以O、P、C为顶点的三角形与△ABC相似 ，且△ABC为锐角三角形
则也为锐角三角形，点P在第四象限
由点C（3，0），D（1，-4）得直线CD的表达式是，设（）
过P作PH⊥OC，垂足为点H，则，
①当时,由得，
∴，解得， ∴
②当时,由得，
∴，解得，∴
综上得或
例3、已知抛物线经过点、、．
（1）求抛物线的解析式；
（2）联结AC、BC、AB，求的正切值；
（3）点P是该抛物线上一点，且在第一象限内，过点P作交轴于点，当点在点的上方，且与相似时，求点P的坐标．
（第3题图）
y
x
A
B
C
O
【答案】：（1）解得

点的坐标为或
【解析】：（1）设所求二次函数的解析式为，
将（,）、（，）、（,）代入，得
解得
所以，这个二次函数的【解析】式为
（2）∵（,）、（，）、（,）
∴，，
∴
∴
∴
（3）过点P作，垂足为H
设，则
∵（,）
∴，
∵
∴当△APG与△ABC相似时，存在以下两种可能：
① 则
即 ∴ 解得
∴点的坐标为
② 则
即 ∴ 解得
∴点的坐标为
例4、已知抛物线经过点A（1,0）和B（0,3），其顶点为D.
（1）求此抛物线的表达式；
（2）求△ABD的面积；
（3）设P为该抛物线上一点，且位于抛物线对称轴右侧，作PH⊥对称轴，垂足为H，若△DPH与△AOB相似，求点P的坐标.
【答案】：（1）抛物线的表达式为（2）1（3）点P的坐标为（5,8），.
【解析】：（1）由题意得：
得：，
所以抛物线的表达式为.
（2）由（1）得D（2，﹣1），
作DT⊥y轴于点T,
则△ABD的面积=.
（3）令P.
由△DPH与△AOB相似，易知∠AOB=∠PHD=90°，
所以或，
解得：或，
所以点P的坐标为（5,8），.
图5
例5、平面直角坐标系xOy中（如图8），已知抛物线经过点A（1,0）和B（3,0），
与y轴相交于点C，顶点为P．
（1）求这条抛物线的表达式和顶点P的坐标；