人教版专题41：第8章几何中的最值问题之和长度有关的最值之单一线段的最值-备战2021中考数学解题方法系统训练（全国通用）（解析版）.doc

41第8章几何中的最值问题之和长度有关的最值之单一线段的最值
一、单选题
1．如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为(　　)
A．8 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【分析】根据平行线定理判定，再有垂线段最短性质，作出辅助线，最后由角平分线性质解题即可．
【解答】
，
根据垂线段最短的原则，得，当时, 取最小值，如图，
和分别平分和
故选：D．
【点评】本题考查平行线定理、垂线段最短性质、角平分线性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
2．如图，正方体的棱长为2，B为一条棱的中点．已知蚂蚁沿正方体的表面从A点出发，到达B点，则它运动路程最短时，CD的长是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正方体的性质可得CD∥EB，AC=EC，即C为AE中点，推出CD是△ABE的中位线，根据正方体的边长为2，B为一条棱的中点，得出EB=1，即可得出CD．
【解答】解：画出展开图如下，
由正方体的性质可得CD∥EB，AC=EC，即C为AE中点，
∴CD是△ABE的中位线，
∴CD=EB，
∵正方体的边长为2，B为一条棱的中点，
∴EB=1，
∴CD=，
故选：B．
【点评】本题考查了中位线的性质，正方体的性质，得出CD是△ABE的中位线是解题关键．
3．如图，∠MON＝90°，动点A、B分别位于射线OM、ON上，矩形ABCD的边AB＝6，BC＝4，则线段OC长的最大值是（　　）
A．10 B．8 C．6 D．5
【答案】B
【分析】取AB中点E，连接OE、CE，求出OE和CE值，利用三角形三边关系分析出当O、E、C三点共线时，OC最大为OE＋CE．
【解答】解：取AB中点E，连接OE、CE，如图所示：
则BE＝AB＝3，
∵∠MON＝90°，
∴OE＝AB＝3．
在Rt△BCE中，利用勾股定理可得CE＝＝5．
在△OCE中，根据三角形三边关系可知CE+OE＞OC，
∴当O、E、C三点共线时，OC最大为OE+CE＝3+5＝8．
故选：B．
【点评】本题主要考查了矩形的性质、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理以及三角形三边关系，解决动态问题的最值问题一般转化为两点间线段最短或三角形三边关系问题．
4．点A，B的坐标分别为A (4，0)，B(0，4)，点C为坐标平面内一点，BC﹦2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（ ）
A．2＋1 B．2＋2 C．4＋1 D．4-2
【答案】A
【分析】根据同圆的半径相等可知：点在半径为2的上，通过画图可知，在与圆的交点时，最小，在的延长线上时，最大，根据三角形的中位线定理可得结论．
【解答】解：如图，
点为坐标平面内一点，，
在上，且半径为2，
取，连接，
，，
是的中位线，
，
当最大时，即最大，而，，三点共线时，当在的延长线上时，最大，
，，
，
，
，
即的最大值为；
故选：A．
【点评】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定为最大值时点的位置是解题的关键．
5．如图，正方形ABCD的边长为1，将其绕顶点C旋转，得到正方形CEFG，在旋转过程中，则线段AE的最小值为（　　）
A． B．-1 C．0．5 D．
【答案】B
【分析】分析题易可知点E的运动轨迹是以DC为半径以C为圆心的圆，当A，E，C三点共线且E在正方形ABCD内部的时候AE值最小．
【解答】解：如图所示，连接AC
∵正方形边长为1
∴AC=
当A，E，C三点共线且E在正方形ABCD内部的时候AE值最小
∴AE=AC-CE=-1
故选：B
二、填空题
6．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，当的长最小时，的值为________．
【答案】3
【分析】由勾股定理建立关于的二次函数解析式，利用二次函数的性质可得答案．
【解答】解：如图，过作于
则
由勾股定理得：

当 有最小值
的最小值是
故答案为3．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，二次函数的性质，掌握以上的知识是解题的关键．
7．如图，AC是⊙O的弦，AC＝6，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝60°，若点M、N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是_____．
【答案】2．
【分析】作直径AD，如图，先判断NM为△CAB的中位线得到M