人教版初中数学专题10 分式方程及其应用（解析版）.docx

专题10 分式方程及其应用
1．分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
2．解分式方程的一般方法:解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。
（1）去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);
（2）按解整式方程的步骤求出未知数的值;
（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，原分式方程无解；若不等于零，就是原方程的根。
【例题1】（2020•哈尔滨）方程2x+5=1x-2的解为（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝5 C．x＝7 D．x＝9
【答案】D
【分析】根据解分式方程的步骤解答即可．
【解析】方程的两边同乘（x+5）（x﹣2）得：
2（x﹣2）＝x﹣5，
解得x＝9，
经检验，x＝9是原方程的解．
【对点练****2019▪黑龙江哈尔滨）方程＝的解为（　　）
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝
【答案】C
【解析】将分式方程化为，即可求解x＝；同时要进行验根即可求解。
＝，
，
∴2x＝9x﹣3，
∴x＝；
将检验x＝是方程的根，
∴方程的解为x＝
【点拨】本题考查解分式方程；熟练掌握分式方程的解法及验根是解题的关键．
【例题2】（2020•齐齐哈尔）若关于x的分式方程3xx-2=m2-x+5的解为正数，则m的取值范围为（　　）
A．m＜﹣10 B．m≤﹣10
C．m≥﹣10且m≠﹣6 D．m＞﹣10且m≠﹣6
【答案】D
【分析】分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解为正数求出m的范围即可．
【解析】去分母得：3x＝﹣m+5（x﹣2），
解得：x=m+102，
由方程的解为正数，得到m+10＞0，且m+10≠4，
则m的范围为m＞﹣10且m≠﹣6，
【对点练****2019•江苏宿迁）关于x的分式方程+＝1的解为正数，则a的取值范围是　　．
【答案】a＜5且a≠3．
【解析】去分母得：1﹣a+2＝x﹣2，
解得：x＝5﹣a，
5﹣a＞0，
解得：a＜5，
当x＝5﹣a＝2时，a＝3不合题意，
故a＜5且a≠3．
【点拨】直接解分式方程，进而利用分式方程的解是正数得出a的取值范围，进而结合分式方程有意义的条件分析得出答案．
【例题3】（2020•长沙）随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同．设更新技术前每天生产x万件产品，依题意得（　　）
A．400x-30=500x B．400x=500x+30
C．400x=500x-30 D．400x+30=500x
【答案】B
【分析】设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产（x+30）万件产品，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解析】设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产（x+30）万件产品，
依题意，得：400x=500x+30．
【对点练****2019吉林长春）为建国70周年献礼，某灯具厂计划加工9000套彩灯，为尽快完成任务，实际每天加工彩灯的数量是原计划的1.2倍，结果提前5天完成任务。求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量.
【答案】300套．
【解析】该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为x套，则实际每天加工彩灯的数量为1.2x套，
由题意得：，
解得：x=300，
经检验，x=300是原方程的解，且符合题意。
【点拨】这样考虑理解容易一些：原计划m天完成，有mx=9000，实际（m-5）天完成，有（m-5）2x=9000.
【例题4】（2020贵州黔西南）“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：
（1）A型自行车去年每辆售价多少元；
（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多．
【答案】(1) 2000元；（2） A型车20辆，B型车40辆