人教版初中数学专题54 探究发现类创新型综合素养能力题（解析版）.docx

专题54 探究发现类创新型综合素养能力题
探究题类型比较烦杂，以问题表现形式来分，大致可归类为开放型、新信息型、存在型等.
一、开放型探究题
　　开放型探究题按题型结构分为条件开放型、结论开放型与策略开放型.此类探究题注重考查学生思维的严谨性和培养发散思维的能力.
二、新信息型探究题
　　进入新时代，新信息型探究题逐渐成为考查中的亮点，这类题目通常都会出现一些新的定义概念、规则、运算等，如何理解和运用题中提供的新信息是处理此类问题的关键.比如“等邻边四边形”、“智慧三角形”、“勾股分割点”等都属于新信息探究题.
三、存在型探究题
　　存在与否型探索问题历来都是考查的重点，几何与代数都有涉及.解决此类问题的一般思路为假设结论成立或存在.结合已知条件，建立数学模型，仔细分析，层层推进，如果能获得相应的结论，则假设成立，如果出现矛盾则说明原假设并不成立.
探索结论的存在性问题，是综合探究题之一，是开放型试题的重点题型，是中考的热点，也是难点，更是
亮点。若在选择题、填空题中出现，一般考查的难度属于中等难度，若在选择题或者填空题的最后一道小
题出现，就属于压轴题。但根据全国各地中考试卷看，探索结论的存在性问题，都以压轴大题形式出现，
这类试题只是覆盖面广，综合性强。解决问题基本思路是：首先假设研究的数学对象存在，然后从假设出
发，结合题目条件进行计算推理论证，若所得结论正确合理，说明结论存在；若所得结论不合理，说明结
论不存在。解题时要注意的是：（1）明确这类问题的解题思路，即假设存在法；（2）要对各方面知识理解
到位，能灵活应用知识进行分析、综合、概括和推理；（3）心中一定要装有重要的数学思想方法，比如建
构方程的思想、数形结合的思想、转化思想等，在数学思想方法引领下，让解决问题具有方向性，避免盲
目性。（4）作图要科学规范，便于解决问题为宜。
【例题】（2020•河南）小亮在学****中遇到这样一个问题：
如图，点D是BC上一动点，线段BC＝8cm，点A是线段BC的中点，过点C作CF∥BD，交DA的延长线于点F．当△DCF为等腰三角形时，求线段BD的长度．
小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学****函数的经验研究此问题．请将下面的探究过程补充完整：
（1）根据点D在BC上的不同位置，画出相应的图形，测量线段BD，CD，FD的长度，得到下表的几组对应值．
BD/cm
0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
CD/cm
8.0
7.7
7.2
6.6
5.9
a
3.9
2.4
0
FD/cm
8.0
7.4
6.9
6.5
6.1
6.0
6.2
6.7
8.0
操作中发现：
①“当点D为BC的中点时，BD＝5.0cm”．则上表中a的值是　 　；
②“线段CF的长度无需测量即可得到”．请简要说明理由．
（2）将线段BD的长度作为自变量x，CD和FD的长度都是x的函数，分别记为yCD和yFD，并在平面直角坐标系xOy中画出了函数yFD的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数yCD的图象；
（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当△DCF为等腰三角形时，线段BD长度的近似值（结果保留一位小数）．
【答案】见解析。
【分析】（1）①由BD=CD可求BD＝CD＝a＝5cm；
②由“AAS”可证△BAD≌△CAF，可得BD＝CF，即可求解；
（2）由题意可画出函数图象；
（3）结合图象可求解．
【解析】（1）∵点D为BC的中点，∴BD=CD，∴BD＝CD＝a＝5cm，
故答案为：5；
（2）∵点A是线段BC的中点，
∴AB＝AC，
∵CF∥BD，∴∠F＝∠BDA，
又∵∠BAD＝∠CAF，
∴△BAD≌△CAF（AAS），∴BD＝CF，
∴线段CF的长度无需测量即可得到；
（3）由题意可得：
（4）由题意画出函数yCF的图象；
由图象可得：BD＝3.8cm或5cm或6.2cm时，△DCF为等腰三角形．
【对点练****在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=，AC=2，过点B作直线m∥AC，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C′（点A，B的对应点分别为A'，B′），射线CA′，CB′分別交直线m于点P，Q．
（1）如图1，当P与A′重合时，求∠ACA′的度数；
（2）如图2，设A′B′与BC的交点为M，当M为A′B′的中点时，求线段PQ的长；
（3）在旋转过程中，当点P，Q分别在