人教版初中数学专题八 与圆有关的证明与计算(解析版).docx

专题八　与圆有关的证明与计算
类型1　与圆有关的性质有关的证明与计算
1．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A，B，C三点的坐标分别为A(2，0)，B(4，0)，C(0，5)，点D在第一象限内，且∠ADB＝45°.线段CD的长的最小值为__5－__．[来源:Z*xx*k.Com]
[来源:Zxxk.Com]
2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1＝∠C.
(1)求证：CB∥PD；
(2)若BC＝3，sinP＝，求⊙O的直径．
解：(1)证明：∵∠C＝∠P，∠1＝∠C，∴∠1＝∠P.∴CB∥PD.
(2)连接AC.∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.又∵CD⊥AB，∴＝.∴∠P＝∠CAB，∴sin∠CAB＝，即＝.又知，BC＝3，∴AB＝5.∴⊙O直径为5.
类型2　与圆的切线有关的证明与计算
3．已知：如图，P是⊙O外一点，过点P引圆的切线PC(C为切点)和割线PAB，分别交⊙O于A，B，连接AC，BC.
(1)求证：∠PCA＝∠PBC；
(2)利用(1)的结论，已知PA＝3，PB＝5，求PC的长．[来源:Z,xx,k.Com]
解：(1)证明：连接OC，OA，∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠CAO.∵PC是⊙O的切线，C为切点，∴PC⊥OC.∴∠PCO＝90°，∠PCA＋∠ACO＝90°.在△AOC中，∠ACO＋∠CAO＋∠AOC＝180°，∵∠AOC＝2∠PBC，∴2∠ACO＋2∠PBC＝180°.∴∠ACO＋∠PBC＝90°.∵∠PCA＋∠ACO＝90°，∴∠PCA＝∠PBC.
(2)∵∠PCA＝∠PBC，∠P＝∠P，∴△PAC∽△PCB.∴＝，即PC2＝PA·PB.∵PA＝3，PB＝5，∴PC＝＝.
4．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，⊙O(圆心O在△ABC内部)经过B、C两点，交AB于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点F.延长CO交AB于点G，作ED∥AC交CG于点D.
(1)求证：四边形CDEF是平行四边形；
(2)若BC＝3，tan∠DEF＝2，求BG的值．
解：(1)连接CE，∵在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠B＝45°，∵EF是⊙O的切线，∠FEO＝90°，∴∠EOC＝2∠B＝90°，∴EF∥OD，又∵DE∥CF，∴四边形CDEF是平行四边形；
(2)过G作GN⊥BC于N，∴△GMB是等腰直角三角形，∴MB＝GM，∵四边形CDEF是平行四边形，∴∠FCD＝∠FED，∵∠ACD＋∠GCB＝∠GCB＋∠CGM＝90°，∴∠CGM＝∠ACD，∴∠CGM＝∠DEF，∵tan∠DEF＝2，∴tan∠CGM＝＝2，∴CM＝2GM，∴CM＋BM＝2GM＋GM＝3，∴GM＝1，∴BG＝GM＝.
5．已知：如图，A