人教版初中数学预测 07 锐角三角函数实际应用（解析版）.doc

预测07 锐角三角函数实际应用
锐角三角函数实际应用是全国中考的热点内容！锐角三角函数实际应用就是把实际问题转化为解直角三角形问题。
1．从考点频率看，锐角三角函数实际应用是高频考点，通常利用正弦、余弦、正切的定义和特殊角的三角函数值来解决问题。
2．从题型角度看，以解答题为主，分值9分左右！

特殊角的三角函数值
三角函数
定义
30°
45°
60°
sin
cos
tan

仰角和俯角的定义
坡比的定义
坡比==tanα
1．（2019年新疆中考）如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处．
（1）求海轮从A处到B处的途中与灯塔P之间的最短距离（结果保留根号）；
（2）若海轮以每小时30海里的速度从A处到B处，试判断海轮能否在5小时内到达B处，并说明理由．
（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
【答案】（1）海轮从A处到B处的途中与灯塔P之间的最短距离为40海里；（2）海轮以每小时30海里的速度从A处到B处，不能在5小时内到达B处．
【解析】（1）作PC⊥AB于C，如图所示：
则∠PCA=∠PCB=90°，
由题意得：PA=80，∠APC=45°，∠BPC=90°-30°=60°，
∴△APC是等腰直角三角形，∠B=30°，
∴AC=PC=PA=40．
答：海轮从A处到B处的途中与灯塔P之间的最短距离为40海里；
（2）海轮以每小时30海里的速度从A处到B处，海轮不能在5小时内到达B处，理由如下：
∵∠PCB=90°，∠B=30°，∴BC=PC=40，
∴AB=AC+BC=40+40，
∴海轮以每小时30海里的速度从A处到B处所用的时间=≈5.15（小时）＞5小时，
∴海轮以每小时30海里的速度从A处到B处，不能在5小时内到达B处．
【名师点睛】本题考查的是解直角三角形的应用、方向角的概念、直角三角形的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．
2．（2019年河南中考）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．
（精确到1m．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°=0.83，tan34°≈0.67，≈1.73）
【答案】炎帝塑像DE的高度约为51m．
【解析】∵∠ACE=90°，∠CAE=34°，CE=55m，
∴tan∠CAE=，∴AC==≈82.1（m），
∵AB=21m，∴BC=AC–AB=61.1（m），
在Rt△BCD中，tan60°==，
∴CD=BC≈1.73×61.1≈105.7（m），
∴DE=CD–EC=105.7–55≈51（m）.
答：炎帝塑像DE的高度约为51m．
【名师点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解，难度适中．
3．（2019年甘肃中考）为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是260mm～300mm含（300mm），高度的范围是120mm～150mm（含150
mm）．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，各踏步互相平行，AB=CD，AC=900mm，∠ACD=65°，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．（结果精确到1mm，参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423）
【答案】该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定．
【解析】如图，连接BD，作DM⊥AB于点M，
∵AB=CD，AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∴∠C=∠ABD，AC=BD，
∵∠C=65°，AC=900，
∴∠ABD=65°，BD=900，
∴BM=BD•cos65°=900×0.423≈381，DM=BD•sin65°=900×0.906≈815，
∵381÷3=127，120＜127＜150，
∴该中学楼梯踏步的高度符合规定，
∵815÷3≈272，260＜272＜300，
∴该中学楼梯踏步的宽度符合规定，
由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定．
【名师点睛】本