人教版初中数学专题06 图形运动中的计算说理问题（解析版）.doc

玩转压轴题，争取满分之备战2020年中考数学解答题高端精品
专题六 图形运动中的计算说理问题
【考题研究】
从近几年的中考试题来分析，简单的论证与单独的计算已经开始从考题中离去，推理与计算的融合已经成为了近期的考题重点，这种问题主要从计算能力和推理能力进行综合考查，也成为了考题中的压轴之题，从而进行专题压轴训练也是非常重要的。
【解题攻略】
计算说理是通过计算得到结论；说理计算侧重说理，说理之后进行代入求值．
压轴题中的代数计算题，主要是函数类题．
函数计算题必考的是待定系数法求函数的解析式，按照设、列、解、验、答五步完成，一般来说，解析式中待定几个字母，就要代入几个点的坐标．
还有一类计算题，就是从特殊到一般，通过计算寻找规律．
代数计算和说理较多的一类题目，是确定直线与抛物线的交点个数.联立直线和抛物线的解析式组成方程组，消去y，得到关于x的一元二次方程，然后根据∆确定交点的个数．
【解题类型及其思路】
我们介绍一下求函数图像交点坐标的几何方法．
如图1，已知直线y＝x＋1与x轴交于点A，抛物线y＝x2－2x－3与直线y＝x＋1交于A、B两点，求点B的坐标的代数方法，就是联立方程组，方程组的一个解是点A的坐标，另一个解计算点的坐标．
几何法是这样的：设直线AB与y轴分别交于C，那么tan∠AOC＝1．
作BE⊥x轴于E，那么．设B(x, x2－2x－3)，于是．
请注意，这个分式的分子因式分解后，．这个分式能不能约分，为什么？
因为x＝－1的几何意义是点A，由于点B与点A不重合，所以x≠－1，因此约分以后就是x－3＝1．
这样的题目一般都是这样，已知一个交点求另一个交点，经过约分，直接化为一元一次方程，很简便．

【典例指引】
类型一 【计算说理盈利问题】
【典例指引1】某工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本 16 元，工厂将该产品进行网络批发，批发单价 y（元）与一次性批发量 x（件）（x为正整数）之间满 足如图所示的函数关系．
（1）直接写出 y与 x之间所满足的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围；
（2）若一次性批发量不低于 20 且不超过 60 件时，求获得的利润 w 与 x 的函数 关系式，同时当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？
【答案】（1）当且x为整数时，；当且x为整数时，；当且x为整数时，y=20；（2）一次批发34件时所获利润最大，最大利润是578元
【解析】
【分析】
（1）认真观察图象，分别写出该定义域下的函数关系式，定义域取值全部是整数；
（2）根据利润=（售价-成本）×件数，列出利润的表达式，求出最值．
【详解】
（1）当且x为整数时，；
当且x为整数时，；
当且x为整数时，；
（2）当且x为整数时，，
∴，
∴
∴
∵
∴当x=34时，w最大，最大值为578
答：一次批发34件时所获利润最大，最大利润是578元．
【名师点睛】
本题主要考查一次函数和二次函数的应用，根据题意列出函数表达式并熟练运用性质是解决问题的关键．
【举一反三】
某商场销售一种商品的进价为每件30元，销售过程中发现月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系如图所示．
（1）根据图象直接写出y与x之间的函数关系式．
（2）设这种商品月利润为W（元），求W与x之间的函数关系式．
（3）这种商品的销售单价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？
【答案】（1）y＝；（2）W＝;（3）这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675．
【解析】
【分析】
（1）当40≤x≤60时，设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，当60＜x≤90时，设y与x之间的函数关系式为y=mx+n，解方程组即可得到结论；
（2）当40≤x≤60时，当60＜x≤90时，根据题意即可得到函数解析式；
（3）当40≤x≤60时，W=-x2+210x-5400，得到当x=60时，W最大=-602+210×60-5400=3600，当60＜x≤90时，W=-3x2+390x-9000，得到当x=65时，W最大=-3×652+390×65-9000=3675，于是得到结论．
【详解】
解：（1）当40≤x≤60时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
将（40，140），（60，120）代入得，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+180；
当60＜x≤90时，设y与x之间的函数关系式为y＝mx+n，
将（90，30），（60，120）代入得