人教版初中数学专题10 三角形问题（解析版）.doc

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专题10 三角形问题
【考点1】三角形基础知识
【例1】1．（2020·湛江）如图，在中，，，平分，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
在中，利用三角形内角和为求，再利用平分，求出的度数，再在利用三角形内角和定理即可求出的度数．
【详解】
∵在中，，．
∴．　
∵平分．　
∴．　
∴．　
故选C．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和和角平分线的性质，熟练应用性质是解决问题的关键．
【变式1-1】（2020·浙江绍兴·中考真题）长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】
利用三角形的三边关系列举出所围成三角形的不同情况，通过比较得到结论.
【详解】
①长度分别为5、3、4，能构成三角形，且最长边为5；
②长度分别为2、6、4，不能构成三角形；
③长度分别为2、7、3，不能构成三角形；
④长度分别为6、3、3，不能构成三角形；
综上所述，得到三角形的最长边长为5．
故选：B.
【点睛】
此题考查构成三角形的条件，三角形的三边关系，解题中运用不同情形进行讨论的方法，注意避免遗漏构成的情况.
【变式1-2】（2020·甘肃天水·）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为_______．
【答案】13
【分析】
先利用因式分解法解方程x2-8x+12=0，然后根据三角形的三边关系得出第三边的长，则该三角形的周长可求．
【详解】
解：∵x2-8x+12=0，
∴，
∴x1=2，x2=6，
∵三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x2-8x+12=0的根，当x=2时，2+2＜5，不符合题意，
∴三角形的第三边长是6，
∴该三角形的周长为：2+5+6=13．
故答案为：13．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程的因式分解法及三角形的三边关系，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
【考点2】全等三角形的判定与性质的应用
【例2】（2020·辽宁鞍山·中考真题）如图，在四边形中，，点E，F分别在，上，，，求证：．
【答案】见解析
【分析】
连接AC，证明△ACE≌△ACF，得到∠CAE=∠CAF，再利用角平分线的性质定理得到CB=CD．
【详解】
解：连接AC，
∵AE=AF，CE=CF，AC=AC，
∴△ACE≌△ACF（SSS），
∴∠CAE=∠CAF，
∵∠B=∠D=90°，
∴CB=CD．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，解题的关键是连接AC，证明三角形全等．
【变式2-1】（2020·山东东营·中考真题）如图1，在等腰三角形中，点分别在边上，连接点分别为的中点．
（1）观察猜想
图1中，线段的数量关系是____，的大小为_____；
（2）探究证明
把绕点顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接判断的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸
把绕点在平面内自由旋转，若，请求出面积的最大值．
【答案】（1）相等，；（2）是等边三角形，理由见解析；（3）面积的最大值为.
【分析】
（1）根据＂点分别为的中点＂，可得MNBD，NPCE ，根据三角形外角和定理，等量代换求出．
（2）先求出，得出，根据MNBD，NPCE ，和三角形外角和定理，可知MN=PN，再等量代换求出，即可求解．
（3）根据，可知BD最大值，继而求出面积的最大值．
【详解】
由题意知：AB=AC，AD=AE，且点分别为的中点，
∴BD=CE，MNBD，NPCE，MN=BD，NP=EC
∴MN=NP
又∵MNBD，NPCE，∠A=，AB=AC，
∴∠MNE=∠DBE，∠NPB=∠C，∠ABC=∠C=
根据三角形外角和定理，
得∠ENP=∠NBP+∠NPB
∵∠MNP=∠MNE+∠ENP，∠ENP=∠NBP+∠NPB，
∠NPB=∠C，∠MNE=∠DBE，
∴∠MNP=∠DBE+∠NBP+∠C
=∠ABC+∠C =．
是等边三角形．
理由如下：
如图，由旋转可得
在ABD和ACE中
．
点分别为的中点，
是的中位线，
且
同理可证且
．
在中
∵∠MNP=，MN=PN
是等边三角形．
根据题意得:
即，从而
的面积．
∴面积的最大值为．