人教版第12讲 运动路径长度问题-2020年中考数学《二轮冲刺核心重点难点热点15讲》(全国通用)解析版.doc

硬核：狙击2020中考数学重点/难点/热点
想要对运动路径长度问题掌握得信手拈来，那么建议你对以下知识点进行提前学****会更好：
《隐圆模型》
《共顶点模型》-也可称“手拉手模型”
《主从联动模型》-也可称“瓜豆原理模型”
《旋转问题》—本系列的第二讲中所阐述的旋转相似模型
此外，还需要明白的动点类型还有：
线段垂直平分线——到线段两端点距离相等的动点一定在这条线段的垂直平分线上
角平分线——到角两边距离相等的动点一定在这个角的角平分线上
三角形中位线——动点到某条线的距离恒等于某平行线段的一半
平行线分线段成比例——动点到某条线的距离与某平行线段成比例
两平行线的性质——平行线间的距离，处处相等
Ps强烈建议：如果您之前没有对上述模型进行过学****建议您先到学科网搜索下载独家精品出版的：
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一、路径为圆弧型
解题策略：
①作出隐圆，找到圆心
②作出半径，求出定长
解题关键：通过《隐圆模型》中五种确定隐圆的基本条件作出隐圆，即可轻易得出结论.
二、路径为直线型
解题策略：
①利用平行定距法或者角度固定法确定动点运动路径为直线型
②确定动点的起点与终点，计算出路径长度即可
解题关键：解题过程中常常出现中位线，平行线分线段成比例，相似证动角恒等于顶角等知识点
三、路径为往返型
解题策略：
①通常为《主从联动模型》的衍生版
②确定动点的起点与终点，感知运动过程中的变化
③找出动点运动的最远点
解题关键：解题过程中常常出现相似转线段长、《主从联动模型》中的滑动模型等
【例题1】如图，等腰Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝，⊙O与AB相切，分别交OA、OB于N、M，以PB为直角边作等腰Rt△BPQ，点P在弧MN上由点M运动到点N，则点Q运动的路径长为（　　）
A． B． C． D．
【分析】解题标签：《共顶点模型》中的旋转相似、《隐圆模型》中的动点定长模型、《主从联动模型》
【解析】如图，连接OP，AQ，
设⊙O与AB相切于C，连接OC，则OC⊥AB，
∵OA＝OB，∠AOB＝90°，OB＝，
∴AB＝2，OP＝OC＝AB＝，
∵△ABO和△QBP均为等腰直角三角形，
∴＝，∠ABO＝∠QBP＝45°，
∴＝，∠ABQ＝∠OBP，
∴△ABQ∽△OBP，
∴∠BAQ＝∠BOP，＝，即＝，
∴AQ＝，
又∵点P在弧MN上由点M运动到点N，
∴0°≤∠BOP≤90°，
∴0°≤∠BAQ≤90°，
∴点Q的运动轨迹为以A为圆心，AQ长为半径，圆心角为90°的扇形的圆弧，
∴点Q运动的路径长为＝，
故选：D．[本题用《主从联动模型》来接替会更快得到结果]
【例题2】已知⊙O，AB是直径，AB＝4，弦CD⊥AB且过OB的中点，P是劣弧BC上一动点，DF垂直AP于F，则P从C运动到B的过程中，F运动的路径长度（　　）
A．π B． C．π D．2
【分析】解题标签：“定边对直角”确定隐圆模型
【解析】作DQ⊥AC于Q，如图，
当P点在C点时，F点与Q重合；当P点在B点时，F点与E点重合，
∵∠AFD＝90°，
∴点F在以AD为直径的圆上，
∴点F运动的路径为，
∵弦CD⊥AB且过OB的中点，
∴OE＝OD，CE＝DE＝，AC＝AC＝2，
∴∠DOE＝60°，
∴∠DAC＝60°，
∴△ACD为等边三角形，
∴MQ和ME为中位线，
∴MQ＝，∠QME＝60°，
∴F运动的路径长度＝＝．
故选：A．
【例题3】如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是　　．

【分析】解题标签：“定边对定角”确定隐圆模型
【解析】连结OA、OB，作△ABC的外接圆D，如图1，
∵OA＝OB＝1，AB＝1，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠APB＝∠AOB＝30°，
∵AC⊥AP，
∴∠C＝60°，
∵AB＝1，要使△ABC的最大面积，则点C到AB的距离最大，
∵∠ACB＝60°，点C在⊙D上，
∴∠ADB＝120°，
如图2，
当点C优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，且面积为AB2＝，
∴△ABC