人教版数学类型二 二次函数与角度问题（解析版）.doc

类型二 二次函数与角度问题
例1、已知抛物线的图象与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点，，过点作轴的平行线与抛物线交于点，抛物线的顶点为，直线经过、两点.
求此抛物线的解析式；
（2）连接、、，试比较和的大小，并说明你的理由.
【答案】解：（1）∵CD∥x轴且点C（0，3），
∴设点D的坐标为(x，3) ．
∵直线y= x+5经过D点，
∴3= x+5．∴x=－2．
即点D(－2，3) ．
根据抛物线的对称性，设顶点的坐标为M（－1，y），
又∵直线y= x+5经过M点，
∴y =－1+5，y =4．即M（－1，4）．
∴设抛物线的解析式为．
∵点C（0，3）在抛物线上，∴a=－1．
即抛物线的解析式为．…………3分
（2）作BP⊥AC于点P，MN⊥AB于点N．
由（1）中抛物线可得
点A（－3，0），B（1，0），
∴AB=4，AO=CO=3，AC=．
∴∠PAB＝45°．
∵∠ABP=45°，∴PA=PB=．
∴PC=AC－PA=．
在Rt△BPC中，tan∠BCP==2．
在Rt△ANM中，∵M（-1，4），∴MN=4．∴AN=2．
tan∠NAM==2．
∴∠BCP＝∠NAM．
即∠ACB＝∠MAB．
例2、在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点N（2,－5），过点N作x轴的平行线交此抛物线左侧于点M，MN=6.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P（x,y）为此抛物线上一动点，连接MP交此抛物线的对称轴于点D，当△DMN为直角三角形时，求点P的坐标；
（3）设此抛物线与y轴交于点C，在此抛物线上是否存在点Q，使∠QMN=∠CNM ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】解：（1）∵过点M、N（2，－5），，
由题意，得M（，）.
∴
解得
∴此抛物线的解析式为. …………………………………2分
（2）设抛物线的对称轴交MN于点G，
若△DMN为直角三角形，则.
∴D1（，），（，）. ………………………………………4分
直线MD1为，直线为.
将P（x，）分别代入直线MD1，
的解析式，
得①，②.
解①得 ，（舍），
∴（1,0）. …………………………………5分
解②得 ，（舍），
∴（3,－12）. ……………………………6分
（3）设存在点Q（x，），
使得∠QMN=∠CNM.
① 若点Q在MN上方，过点Q作QH⊥MN，
交MN于点H，则.
即.
解得，（舍）.
∴（，3）. ……………………………7分
② 若点Q在MN下方，
同理可得（6，）. …………………8分
例3、平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A、点B，与y轴的正半轴交于点C，点 A的坐标为(1, 0)，OB=OC，抛物线的顶点为D．
(1) 求此抛物线的解析式；
(2) 若此抛物线的对称轴上的点P满足∠APB=∠ACB，求点P的坐标；
(3) Q为线段BD上一点，点A关于∠AQB的平分线的对称点为，若，求点Q的坐标和此时△的面积．

【答案】图9
（1）∵ ，
∴ 抛物线的对称轴为直线．
∵ 抛物线与x轴交于
点A、点B，点A的坐标为，
∴ 点B的坐标为，OB＝3．…………… 1分
可得该抛物线的解析式为．
∵ OB=OC，抛物线与y轴的正半轴交于点C，
∴ OC=3，点C的坐标为．
将点C的坐标代入该解析式，解得a=1．……2分
∴ 此抛物线的解析式为．（如图9）…………………… 3分
（2）作△ABC的外接圆☉E，设抛物线的对称轴与x轴的交点为点F，设☉E与抛物线的对称轴位于x轴上方的部分的交点为点，点关于x轴的对称点为点，点、点均为所求点.（如图10）
可知圆心E必在AB边的垂直平分线即抛物线的对称轴直线上．
∵ 、都是弧AB所对的圆周角，
∴ ，且射线FE上的其它点P都不满足．
由（1）可知 ∠OBC=45°，AB=2，OF=2．
可得圆心E也在BC边的垂直平分线即直线上．
∴ 点E的坐标为．………………………………………………… 4分
∴ 由勾股定理得 ．
∴ ．
∴ 点的坐标为．…………………………………………… 5分
由对称性得点的坐标为． ……………………………… 6分
∴符合题意的点P的坐标为、.
（3）∵ 点