人教版专题57：第12章压轴题之开放探究类-备战2021中考数学解题方法系统训练（全国通用）（解析版）.doc

57第12章压轴题之开放探究类
一、单选题
1．已知关于、的二元一次方程组给出下列结论：①当时，此方程组无解；②若此方程组的解也是方程的解，则；③无论整数取何值，此方程组一定无整数解、均为整数)，其中正确的是　　
A．①②③ B．①③ C．②③ D．①②
【答案】A
【分析】根据二元一次方程组的解法逐个判断即可．
【解答】当时，方程组为，此时方程组无解
结论①正确
由题意，解方程组得：
把，代入得
解得，则结论②正确
解方程组得：
又为整数
、不能均为整数
结论③正确
综上，正确的结论是①②③
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解与解法，掌握二元一次方程组的解法是解题关键．
2．“勾股图”有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了以“勾股图”为背景的邮票（如图1），欧几里得在《几何原本》中曾对该图做了深入研究．如图2，在中，，分别以的三条边为边向外作正方形，连结，，，分别与，相交于点，．若，则的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先用已知条件利用SAS的三角形全等的判定定理证出△EAB≌△CAM，之后利用全等三角形的性质定理分别可得，，，然后设，继而可分别求出，，所以；易证Rt△ACB≌Rt△DCG（HL），从而得，然后代入所求数据即可得的值．
【解答】解：∵在△EAB和△CAM中 ，
，
∴△EAB≌△CAM（SAS），
∴，
∴,
∴,
,
设，则，，，，
∴；
∵ 在Rt△ACB和Rt△DCG中，
，
Rt△ACB≌Rt△DCG（HL），
∴;
∴．
故选D．
【点评】本题主要考查了勾股定理，三角形全等的判定定理和性质定理等知识．
3．如图，设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，黑、白两个甲壳虫同时从点A出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是AA1→A1D1→…，白甲壳虫爬行的路线是AB→BB1→…，并且都遵循如下规则：所爬行的第n+2与第n条棱所在的直线必须既不平行也不相交（其中n是正整数）．那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2017条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】D
【分析】先确定黑、白两个甲壳虫各爬行完第2017条棱分别停止的点，再根据停止点确定它们之间的距离．
【解答】根据题意可知黑甲壳虫爬行一圈的路线是AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA，回到起点．
乙甲壳虫爬行一圈的路线是AB→BB1→B1C1→C1D1→D1A1→A1A．
因此可以判断两个甲壳虫爬行一圈都是6条棱，
因为2017÷6=336…1，
所以黑、白两个甲壳虫各爬行完第2017条棱分别停止的点都是A1，B.
所以它们之间的距离是，
故选D．
【点评】此题考查了立体图形的有关知识．注意找到规律：黑、白甲壳虫每爬行6条边后又重复原来的路径是解此题的关键．
4．在平面上，边长为的正方形和短边长为的矩形几何中心重合，如图①，当正方形和矩形都水平放置时，容易求出重叠面积．
甲、乙、丙三位同学分别给出了两个图形不同的重叠方式；

甲：矩形绕着几何中心旋转，从图②到图③的过程中，重叠面积大小不变．
乙：如图④，矩形绕着几何中心继续旋转，矩形的两条长边与正方形的对角线平行时，此时的重叠面积大于图③的重叠面积．
丙：如图⑤，将图④中的矩形向左上方平移，使矩形的一条长边恰好经过正方形的对角线，此时的重叠面积是个图形中最小的．
下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙、丙都对 B．只有乙对 C．只有甲不对 D．甲、乙、丙都不对
【答案】C
【分析】本题重叠部分面积需要结合图形特点，利用对称性质，通过假设未知数表示未知线段，利用面积公式求解，并根据线段范围判别面积大小．
【解答】如图一所示，设AI=x，BJ=y，则有x+y=AB-IJ=2-1=1，重叠部分四边形JILK面积为2．
如图二所示，设AI=x，BJ=y，
因为JM=HE=1，△JIM为直角三角形，斜边JI大于直角边JM，
故有：x+y＜1，重叠部分平行四边形JILK面积为．
如图三所示，设AI=x（0＜x＜1），BJ=y=0，重叠部分四边形JIDK面积为．
在由图一到图三的转变过程中，x+y的取值逐渐减小，则重叠部分面积逐渐增大，故甲同学说法错误．
如图四所示，设AI=AN=x（1＜x＜2），重叠部分多边形BINDKM面积为．
当0＜x＜2时， ，