人教版初中数学专题12 全等三角形（解析版）.docx

专题12 全等三角形
知识点1：全等三角形
1.全等三角形：两个三角形的形状、大小、都一样时，其中一个可以经过平移、旋转、对称等运动（或称变换）使之与另一个重合，这两个三角形称为全等三角形。
2．全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等。
知识点2：全等三角形的判定
（1）“边角边”简称“SAS”；
（2）“角边角”简称“ASA” ；
（3）“边边边”简称“SSS”；
（4）“角角边”简称“AAS”；
（5）斜边和直角边相等的两直角三角形（HL）。
知识点3：角平分线的性质
角的内部到角的两边的距离相等的点在叫的平分线上。
1.证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤
（1）确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系），
（2）回顾三角形判定，搞清我们还需要什么，
（3）正确地书写证明格式.
2.三角形中作辅助线的常用方法
（1）在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，若直接证不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明.
（2）在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理.
（3）有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形.
（4）有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。
（5）有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。
（6）截长补短法作辅助线。
（7）延长已知边构造三角形.
（8）连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。
（9）有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。
（10）连接已知点，构造全等三角形。
（11）取线段中点构造全等三有形。
3.全等三角形辅助线做法顺口溜
图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。
【例题1】（2020·黔东南模拟）如图，点B、F、C、E在一条直线上，已知FB=CE，AC∥DF，请你添加一个适当的条件　 　使得△ABC≌△DEF．www-2-1-cnjy-com
【答案】∠A=∠D
【解析】根据全等三角形的判定定理填空．
添加∠A=∠D．理由如下：
∵FB=CE，
∴BC=EF．
又∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE．
∴在△ABC与△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF（AAS）．
【例题2】（2020•衡阳）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
（1）求证：DE＝DF；
（2）若∠BDE＝40°，求∠BAC的度数．
【答案】见解析。
【解析】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△BED与△CFD中，
∠BED=∠CFD∠B=∠CBD=CD，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE＝DF；
（2）解：∵∠BDE＝40°，
∴∠B＝50°，
∴∠C＝50°，
∴∠BAC＝80°．
【例题3】如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA.
(1)求证：DE平分∠BDC；
(2)若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD.
【答案】见解析。
【解析】(1)证明：在等腰直角△ABC中，∵∠CAD=∠CBD=15°，
∴∠BAD=∠ABD=45°-15°=30°，
∴BD=AD，
∴△BDC≌△ADC，
∴∠DCA=∠DCB=45°.
由∠BDE=∠ABD+∠BAD=30°+30°=60°，∠EDC=∠DAC+∠DCA=15°+45°=60°，
∴∠BDE=∠EDC，
∴DE平分∠BDC.
(2)证明：连接MC，
∵DC=DM，且∠MDC=60°，
∴△MDC是等边三角形，即CM=CD.
又∵∠EMC=180°-∠DMC=180°-60°=120°，∠ADC=180°-∠MDC=1