人教版初中数学专题15 线段垂直平分线问题（解析版）.docx

专题15 线段垂直平分线问题
1. 线段的垂直平分线定义
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．
2.线段垂直平分线的做法
求作线段AB的垂直平分线.
作法：（1）分别以点A，B为圆心，以大于AB/2的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；
说明：作弧时的半径必须大于AB/2的长，否则就不能得到两弧的交点了．
（2）作直线CD，CD即为所求直线．
说明：线段的垂直平分线的实质是一条直线.
3.线段垂直平分线的性质：
（1）线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
（2）线段的垂直平分线逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
说明：线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件．
到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看作是与这条线段两个端点的距离相等的所有点的集合．
4.三角形的外心
三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.
说明：
（1）三角形三条边的垂直平分线必交于一点（三线共点），该点即为三角形外接圆的圆心.
（2）锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜边上，与
斜边中点重合.
（3）外心到三顶点的距离相等.
5.尺规作图
线段的垂直平分线作图题是初中数学中不可缺少的一类试题，它要求写出“已知，求作，作法和画图”，画图必须保留痕迹，在现行的教材里，一般不要求写出作法，但是必须保留痕迹.证明过程一般不用写出来.最后要点题即“xxx即为所求”.
6.中考出现考查线段的垂直平分线问题的基本类型
类型一：线段的垂直平分线定理。
类型二：线段的垂直平分线的逆定理。
类型三：线段的垂直平分线定理与逆定理的综合应用。
类型四：尺规作图。
【例题1】（2020•枣庄）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为（　　）
A．8 B．11 C．16 D．17
【答案】B
【解析】在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为
∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴△ACE的周长＝AC+CE+AE
＝AC+CE+BE
＝AC+BC
＝5+6
＝11．
【对点练****2019湖南湘西州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（　　）
A．10 B．8 C．4 D．2
【答案】D
【解析】设CD＝5x，BD＝7x，则BC＝2x，由AC＝12即可求x，进而求出BC；
∵∠C＝90°，cos∠BDC＝，
设CD＝5x，BD＝7x，∴BC＝2x，
∵AB的垂直平分线EF交AC于点D，
∴AD＝BD＝7x，∴AC＝12x，
∵AC＝12，∴x＝1，∴BC＝2
【点拨】本题考查直角三角形的性质；熟练掌握直角三角形函数的三角函数值，线段垂直平分线的性质是解题的关键．
【例题2】（2020•南京）如图，线段AB、BC的垂直平分线11、l2相交于点O，若∠1＝39°，则∠AOC＝　　．
【答案】78°．
【分析】过O作射线BP，根据线段的垂直平分线的性质得AO＝OB＝OC和∠BDO＝∠BEO＝90°，根据四边形的内角和为360°得∠DOE+∠ABC＝180°，根据外角的性质得∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，相加可得结论．
【解析】过O作射线BP，
∵线段AB、BC的垂直平分线11、l2相交于点O，
∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°，
∴∠DOE+∠ABC＝180°，
∵∠DOE+∠1＝180°，
∴∠ABC＝∠1＝39°，
∵OA＝OB＝OC，
∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，
∵∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，
∴∠AOC＝∠AOP+∠COP＝∠A+∠ABC+∠C＝2×39°＝78°
【对点练****2020毕节市模拟）等腰△ABC的底角为72°，腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点E，垂