人教版初中数学专题16 二次根式（解析版）.docx

专题16 二次根式
知识点1：二次根式的定义与性质
1.二次根式的定义
一般地，我们把形如的式子叫做二次根式。二次根式的实质是一个非负数数a的算数平方根。
注意：二次根式从形式上看，应含有二次根号；被开方数的取值范围有限制即被开方数a必须是非负数。二次根式无意义的条件是因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。
2.二次根式的性质：
（1）二次根式的非负性，的最小值是0；也就是说（）是一个非负数，即。
注：因为二次根式表示a的算术平方根，这个性质在解答题目时应用较多，如
若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。
（2）（）
文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：
（3）
知识点2：二次根式的乘除
1.二次根式的乘法法则：
将上面的公式逆向运用可得： 积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
2.二次根式的除法法则：

要点诠释：
（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如.
（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如.
3.分母有理化：（1）定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。（2）关键：把分子、分母都乘以一个适当的式子，化去分母中的根号。
4.最简二次根式：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开放数中不含开得尽方的因数或因式。
知识点3：二次根式的加减
1.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式。
2.二次根式的加减：二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简的二次根式，再将被开方数相同的根式进行合并。
3.二次根式的混合运算
(1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里；
(2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.
一、对于本章内容，学****中应达到以下几方面要求：
1. 理解二次根式的概念，了解被开方数必须是非负数的理由；
2. 了解最简二次根式的概念；
3. 理解并掌握下列结论：
1）是非负数；　
（2）；　
（3）；
4. 掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算；
5. 了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用。
二、学****本章思维导图有利于对二次根式的重点把握
三、与的异同点
（1）不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的
平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以
是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的
运算的结果是有差别的， ，而
（2）相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.
【例题1】（2020•常德）计算：92-12+8=　 　．
【答案】32．
【解析】原式=322-22+22
＝32．
【点拨】直接化简二次根式进而合并得出答案．
【例题2】（2020•常德）若代数式22x-6在实数范围内有意义，则x的取值范围是　　．
【答案】x＞3．
【解析】由题意得：2x﹣6＞0，
解得：x＞3，
【点拨】根据二次根式有意义的条件可得2x﹣6＞0，再解即可．
【例题3】（2020•济宁）下列各式是最简二次根式的是（　　）
A．13 B．12 C．a3 D．53
【答案】A
【解析】A、13是最简二次根式，符合题意；
B、12=23，不是最简二次根式，不符合题意；
C、a3=|a|a，不是最简二次根式，不符合题意；
D、53=153，不是最简二次根式，不符合题意．
【点拨】利用最简二次根式定义判断即可．
《二次根式》单元精品检测试卷
本套试卷满分120分，答题时间90分钟
一、选择题（每小题3分，共36分）
1.若代数式+有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A． x≠1 B． x≥0 C． x≠0 D． x≥0且x≠1
【答案】D．
【解析】根据分式及二次根式有意义的条件列出关于x的不等式组，求出x的取值范围即可．
∵代数式+有意义，
∴，
解得x≥0且x≠1．
2.当1＜a＜2时，代数式+|1﹣a|的值是（　　）
A． ﹣1 B． 1 C． 2a﹣3 D． 3﹣2a
【答案】B
【解析】首先判断出a﹣2＜0，