第11讲 勾股定理与锐角三角函数（易错点梳理+微练习）（解析版）-2022年中考数学大复习（人教版）.doc

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第11讲 勾股定理与锐角三角函数易错点梳理
易错点梳理
易错点01 利用勾股定理解题漏解
在题目中没有明确哪个角为直角时，常需要分类讨论，不可漏解。
易错点02 利用勾股定理弄错第三边
在利用勾股定理计算时，误认为第三边为斜边，其实第三边可能是斜边，也可能是直角边。
易错点03 不能正确理解坡度的概念
坡度是指坡面的垂直高度h和水平宽度l的比值，而并非度数。
易错点04 误解仰角与俯角的概念
仰角和俯角是指视线与水平线的夹角，而非视线与铅垂线的夹角。
易错点05 忽略解直角三角形的前提条件
只有在直角三角形中才能解直角三角形，没有直角三角形时需要通过作辅助线构造直角三角形求解。
例题分析
考向01 勾股定理
例题1：（2021·山东李沧·九年级期中）如图，已知矩形纸片ABCD的两边AB＝4，BC＝2，过点B折叠纸片，使点A落在边CD上的点F处，折痕为BE，则EF的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【思路分析】由翻折的性质，得BF＝AB＝4，AE＝EF，设AE＝EF＝x，在Rt△DEF中，利用勾股定理构建方程并求解，即可解决问题．
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【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝2，CD＝AB＝4，∠D＝∠C＝90°，
根据题意，得：BF＝AB＝4，AE＝EF，
∴
设AE＝EF＝x，在Rt△DEF中，
∵DE2+DF2＝EF2，
∴
∴
∴
故选：A．
【点拨】本题考查了轴对称、矩形、勾股定理、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称、矩形、勾股定理的性质，从而完成求解．
例题2：（2021·河南泌阳·九年级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝2．以点B为圆心，BC为半径画弧交AB于点D，再以点A为圆心，AD为半径画弧交AC于点E．则CE的长等于（　　）
A．﹣1 B． C． D．1
【答案】A
【思路分析】解直角三角形求出AC，AE，可得结论．
【解析】解：，
，
，
，
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，
故选：A
【点拨】本题考查直角三角形30°角的性质等知识，解题的关键是求出BC=BD=AD=AE=1，属于中考常考题型．
考向02 勾股定理的逆定理
例题3：如图，点是正方形内一点，点到点，和的距离分别为1，，，延长与相交于点，则的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】D
【思路分析】将绕点顺时针旋转90°得到，作垂足为，根据勾股定理逆定理得到是直角三角形，求出，，利用∽得到，可得结论．
【解析】解：作垂足为，将绕点顺时针旋转得到，连接．
∵四边形为正方形，
∴，，
∵绕点顺时针旋转后得到，
∴，，
∵，
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∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴AM=AE+EM=1+2=3，
在中，，
在和中，，，
∴∽，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选择：D．
【点拨】本题考查了解直角三角形和相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，勾股定理与勾股定理逆定理，解题关键是通过旋转构建直角三角形，利用勾股定理与逆定理，相似三角形性质和锐角三角函数求解是解题关键．
例题4：（2021·陕西灞桥·一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，P是CD边上一点，M、N、E分别是PA、PB、AB的中点，以下四种情况，哪一种四边形PMEN不可能为矩形（ ）
A．AD＝3 B．AD＝4 C．AD＝5 D．AD＝6
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【答案】D
【思路分析】先证四边形PMEN是平行四边形，当∠APB=90°时，四边形PMEN是矩形，设DP=x，CP=10-x，再由勾股定理得出方程，分别计算即可．
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AB＝CD＝10，∠C＝∠D＝90°，
∵M、N、E分别是PA、PB、AB的中点，
∴ME、NE是△ABP的中位线，
∴ME∥BP，NE∥AP，
∴四边形PMEN是平行四边形，
当∠APB＝90°时，四边形PMEN是矩形，
设DP＝x，CP＝10﹣x，
由勾股定理得：AP2＝AD2+x2，BP2＝BC2+（10﹣x）2，AP2+BP2＝AB2，
∴AD2+x2+AD2+（10﹣x）2＝102，
AD2+x2﹣10x＝0，
①当AD＝3时，x2﹣10x+9＝0，
x＝1或x＝9，符合题意；
②当AD＝4时，x2﹣10x+16＝0，