专题32 圆的有关概念和性质【考点精讲】-【人教版】备战2022年中考数学考点总复习（全国通用）（解析版）.docx

学科网（北京）股份有限公司
专题32 圆的有关概念和性质
知识导航

知识精讲
考点1：垂径定理
1．定理:垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 
2．推论1:①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧. 
③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. 
3．推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等. 
注意：轴对称性是圆的基本性质，垂径定理及其推论就是根据圆的轴对称性总结出来的，它们是证明线段相等、角相等、垂直关系、弧相等和一条弦是直径的重要依据.遇弦作弦心距是圆中常用的辅助线.

【例1】（2021·广西玉林市）学****圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，小熹说：“用反例就能说明这是假命题” ．下列判断正确的是（ ）
A．两人说的都对 B．小铭说的对，小燕说的反例不存在
C．两人说的都不对 D．小铭说的不对，小熹说的反例存在
【答案】D
【分析】根据垂径定理可直接进行排除选项．
【详解】
解：由垂径定理的推论“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧”可知：
小铭忽略了垂径定理中的“弦不能是直径”这一条件，因为一个圆中的任意两条直径都互相平分，但不垂直，所以小铭说法错误，小熹所说的反例即为两条直径的情况下；
故选D．
学科网（北京）股份有限公司
【例2】（2021·青海）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于，两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（ ）．
A．1.0厘米/分 B．0.8厘米分 C．12厘米/分 D．1.4厘米/分
【答案】A
【分析】
首先过⊙O的圆心O作CD⊥AB于C，交⊙O于D，连接OA，由垂径定理，即可求得OC的长，继而求得CD的长，又由从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为10分钟，即可求得“图上”太阳升起的速度．
【详解】
解：过⊙O的圆心O作CD⊥AB于C，交⊙O于D，连接OA，
∴AC=AB=×16=8（厘米），
在Rt△AOC中，（厘米），
∴CD=OC+OD=16（厘米），
∵从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟，
∴16÷16=1（厘米/分）．
∴“图上”太阳升起的速度为1.0厘米/分．
故选：A．
方法技巧
学科网（北京）股份有限公司
1．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
2．根据垂径定理构造直角三角形，一般为过圆心作已知弦的弦心距，常用于求线段的长度. 针对训练
1．如图，已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE＝6cm，EB＝2cm，∠BED＝30°，求CD的长．
【分析】先过点O作OM⊥CD，连结OC，根据垂径定理得出CD＝2CM，再根据AE＝6cm，EB＝2cm，求出AB，再求出OC、OB、OE，再根据∠CEA＝30°，求出OM=12OE=12×2＝1cm，根据CM=OC2−OM2，求出CM，最后根据CD＝2CM即可得出答案．
【解答】解：过点O作OM⊥CD，连结OC，则CD＝2CM，
∵AE＝6cm，EB＝2cm，
∴AB＝8（cm），
∴OC＝OB＝4（cm），
∴OE＝4﹣2＝2（cm），
∵∠CEA＝∠BED＝30°，
∴OM=12OE=12×2＝1（cm），
∴CM=OC2−OM2=42−12=15（cm），
∴CD＝215（cm）．
2．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D．
（1）求证AC＝BD；
学科网（北京）股份有限公司
（2）若AC＝3，大圆和小圆的半径分别为6和4，则CD的长度是　　．
【分析】（1）作CH⊥CD于H，如图，根据垂径定理得到CH＝DH，AH＝BH，利用等量减等量差相等可得到结论；
（2）连接OC，如图，设CH＝x，利用勾股定理得到OH2＝OC2﹣CH2＝42﹣x2，OH2＝OA2﹣AH2＝62﹣（3+x）2，则42﹣x2＝62﹣（3+x）2，然后解方程求出x即可得到CD的长．
【解答】（1）证明：作CH⊥CD于H，如图，
∵OH⊥CD，