专题36 几何最值之将军饮马问题【人教版】-【中考高分导航】备战2022年中考数学考点总复习（全国通用）（解析版）.docx

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专题36 几何最值之将军饮马问题

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方法技巧
“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现．
【抽象模型】如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？
【模型解析】作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB
当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）
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题型精讲
题型一：两定一动模型
模型
作法
结论
当两定点A、B在直线l异侧时，在直线l上找一点P，使PA＋PB最小．
连接AB交直线l于点P，点P即为所求作的点．
PA＋PB的最小值为AB
当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得PA＋PB最小．
作点B关于直线l的对称点B'，
连接AB'交直线l于点P，点P即为所求作的点．
PA＋PB的最小值为AB'
当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得最大．
连接AB并延长交直线l于点P，点P即为所求作的点．
的最大值为AB
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当两定点A、B在直线l异侧时，在直线
l上找一点P，使得最大．
作点B关于直线I的对称点B'，连接AB'并延长交直线l于点P，点P即为所求作的点．
的最大值为AB'
当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得最小．
连接AB，作AB的垂直平分线交直线l于点P，点P即为所求作的点．
的最小值为0
【例1】如图，点C的坐标为（3，y），当△ABC的周长最短时，求y的值．

【解析】解：解：（1）作A关于x=3的对称点A′，连接A′B交直线x=3与点C．
∵点A与点A′关于x=3对称，∴AC=A′C．∴AC+BC=A′C+BC．
当点B、C、A′在同一条直线上时，A′C+BC有最小值，即△ABC的周长有最小值．
∵点A与点A′关于x=3对称，∴点A′的坐标为（6，3）．
设直线BA′的解析式y=kx+b，将点B和点A′的坐标代入得：k＝，b＝−．
∴y=x-．
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将x=3代入函数的解析式，∴y的值为
【例2】如图，正方形ABCD中，AB＝7，M是DC上的一点，且DM＝3，N是AC上的一动点，求|DN－MN|
的最小值与最大值．
【解析】解：当ND=NM时，即N点DM的垂直平分线与AC的交点，|DN-MN|=0，
因为|DN-MN|≤DM，当点N运动到C点时取等号，此时|DN-MN|=DM=3，
所以|DN-MN|的最小值为0，最大值为3
【例3】如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点三点,,．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）是抛物线对称轴上的一点，求满足的值为最小的点坐标（请在图1中探索）；
（3）在第四象限的抛物线上是否存在点，使四边形是以为对角线且面积为的平行四边形？若存在，请求出点坐标，若不存在请说明理由.（请在图2中探索）
【答案】（1），函数的对称轴为：；（2）点；（3）存在，点的坐标为或．
【解析】
解：根据点,的坐标设二次函数表达式为：，
∵抛物线经过点，
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则，解得：，
抛物线的表达式为： ，
函数的对称轴为：；
连接交对称轴于点，此时的值为最小，
设BC的解析式为：，
将点的坐标代入一次函数表达式：得：
解得：
直线的表达式为：，
当时，，
故点；
存在，理由：
四边形是以为对角线且面积为的平行四边形，
则 ，
点在第四象限，故：则，
将该坐标代入二次函数表达式得：
，
解得：或，
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故点的坐标为或．
题型二：一定两动模型
模型
作法
结论
点P在∠AOB内部，在OB边上找点D，OA边上找点C，使得△PCD周长最小．
分别作点P关于OA、OB的对称点P′、P″，连接P′P″，交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求．
△PCD周长的最小值为P′P″
点P在∠AOB内部，在OB边上找点D，OA边上找点C，使得PD＋CD最小．
作点P关于OB的对称点P′，过P′作P′C⊥OA交OB于D，点C、点D即为所求．
PD＋CD的最小值为P′C
【例4】如图，点P是∠AO