专题39 几何最值之阿氏圆问题【人教版】（解析版）.docx

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专题39 几何最值之阿氏圆问题
方法技巧
问题分析：“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA:PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。

模型展示：如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P构成的图形为圆．
（1）角平分线定理：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，则．
证明：，，即
（2）外角平分线定理：如图，在△ABC中，外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D，则．
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证明：在BA延长线上取点E使得AE=AC，连接BD，则△ACD≌△AED（SAS），CD=ED且AD平分∠BDE，则，即．
接下来开始证明步骤：
如图，PA：PB=k，作∠APB的角平分线交AB于M点，根据角平分线定理，，故M点为定点，即∠APB的角平分线交AB于定点；作∠APB外角平分线交直线AB于N点，根据外角平分线定理，，故N点为定点，即∠APB外角平分线交直线AB于定点；又∠MPN=90°，定边对定角，故P点轨迹是以MN为直径的圆．
模型最值技巧：
计算的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形
问题：在圆上找一点P使得的值最小，解决步骤具体如下：
① 如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP，OB
② 计算出这两条线段的长度比
③ 在OB上取一点C，使得，即构造△POM∽△BOP，则，
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题型精讲
④ 则，当A、P、C三点共线时可得最小值
【例1】如图，已知正方ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______．
【分析】当P点运动到BC边上时，此时PC=2，根据题意要求构造，在BC上取M使得此时PM=1，则在点P运动的任意时刻，均有PM=，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．
连接PD，对于△PDM，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值．
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【详解】解：（1）如图1中，在BC上取一点G，使得BG=1．
∵
∴ ∵∠PBG=∠PBC，
∴△PBG∽△CBP，
∴
∴
∵DP+PG≥DG，
∴当D、G、P共线时，的值最小，最小值为DG==5．
∵=PD-PG≤DG，
当点P在DG的延长线上时，的值最大（如图2中），最大值为DG=5．
【例2】如图，菱形的边长为2，锐角大小为，与相切于点E，在上任取一点P，则的最小值为___________．
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【答案】．
【详解】解：在AD上截取AH=1.5，连接PH、AE，过点B作BF⊥DA延长线，垂足为F，
∵AB=2，∠ABC=60°，∴BE=AF=1，AE=BF=，∴，
∵∠PAD =∠PAH，∴△ADP∽△APH，∴，∴PH=，
当B、P、H共线时，的最小，最小值为BH长，
BH=；故答案为：．
【例3】如图，在中，∠C=90°，CA=3，CB=4．的半径为2，点P是上一动点，则的最小值______________的最小值_______
【答案】
【详解】①在BC上取点D，使CD=BC=1，连接AD，PD，PC，
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由题意知：PC=2，∵，∠PCD=∠BCP，∴，∴，
且，∴，
∴的最小值为，故答案为：；
②在AC上取点E，使CE=，连接PE，BE，PC，
∵，，∴，且∠PCE=∠ACP，
∴，∴，∴，∴，
∴，∴的最小值为，故答案为：．
提分作业
1．如图，矩形中，，以B为圆心，以为半径画圆交边于点E，点P是弧
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上的一个动点，连结，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，连接BP，取BE的中点G，连接PG，
∵，，∴，∵G是BE的中点，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
则，当P、D、G三点共线时，取最小值，即DG长，
．故选：C．
2．如图，已知菱形的边长为4，，的半径为2，P为上一动点，则的最小值_______．的最小值_______
【答案】
【详解】①如图，在BC上取一点G，使得BG=1，连接PB、PG、GD，作DF⊥BC交BC延长线于F．
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