第15讲 相似、投影与视图（压轴题组）（解析版）-2022年中考数学大复习（人教版）.docx

学科网（北京）股份有限公司
第15讲 相似、投影与视图（压轴题组）
1．（2021·辽宁甘井子·九年级期中）如图，△ABC中，点D，E在边AB上，点F在边BC上，且AD＝AC，EF＝EC，∠CEF＝∠A，连接DF．
（1）在图1中找出与∠ACE相等的角，并证明；
（2）求证：∠BDF＝∠EFC；
（3）如图2，延长FD，CA交于点G，连接EG，若EG＝AG，DE＝kAE，求的值（用含k的代数式表示）．
【答案】（1）∠DEF＝∠ACE，证明见解析；（2）见解析；（3）k
【详解】
解：（1）∠DEF＝∠ACE．
证明：∵∠DEC是△ACE的外角，
∴∠DEC＝∠A+∠ACE，
∵∠DEC＝∠DEF+∠CEF，
∴∠DEC+∠CEF＝∠A+∠ACE，
∵∠CEF＝∠A，
∴∠DEF＝∠ACE；
（2）证明：连接CD，过点E作AC的平行线与CD交于点M，
∵AD＝AC，
学科网（北京）股份有限公司
∴∠ADC＝∠ACD，
∵EM∥AC，
∴∠EMD＝∠ACD，∠CEM＝∠ACE，
∴∠EDM＝∠EMD，∠DEF＝∠CEM，
∴ED＝EM，
又∵EF＝EC，
∴△DEF≌△MEC（SAS），
∴∠EDF＝∠EMC，
∵∠BDF+∠EDF＝∠EMD+∠EMC＝180°，
∴∠BDF＝∠EMC，
∵EM∥AC，
∴∠DEM＝∠A，
∵∠A＝∠CEF，
∴∠DEM＝∠CEF，
∵△DEM中，∠EMD＝，△FEC中，∠EFC＝，
∴∠EMD＝∠EFC，
∴∠BDF＝∠EFC；
（3）连接CD，过点E作AC的平行线与CD交于点M，
∵EG＝AG，
∴∠GAE＝∠GEA，
∵∠DAC+∠GAE＝∠GEA+∠GED＝180°，
∴∠DAC＝∠GED，
∵∠CEF＝∠DAC，
学科网（北京）股份有限公司
∴∠DEG＝∠CEF，
∴∠DEG+∠DEF＝∠CEF+∠DEF，
即∠GEF＝∠DEC，
∵△DEF≌△MEC，
∴∠EFG＝∠ECD，DF＝MC，
又∵EF＝EC，
∴△EFG≌△ECD（ASA），
∴GF＝DC，
∴DC﹣MC＝GF﹣DF，
即GD＝DM，
∵EM∥AC，
∴，
∴．
2．（2021·安徽埇桥·九年级期中）如图1所示，在等边三角形ABC中，线段AD为其内角平分线，过点D的直线B1C1⊥AC于点C1，交AB的延长线于点B1．
（1）请你探究：是否都成立？请说明理由．
（2）请你继续探究：若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角平分线，一定成立吗？并证明你的判断．
（3）如图2所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝，E为AB上一点且AE＝5，CE交内角平分线AD于点F，试求的值．
【答案】（1）都成立，理由见解析；（2）结论依然成立，理由见解析；（3）
学科网（北京）股份有限公司
【详解】
（1）两个等式都成立，理由如下：
∵△ABC为等边三角形，为角平分线
∴垂直平分，，
∴
∴
∵，
∴
∴，即
又∵
∴
在Rt△ADC1中，，∴，
∴
（2）结论依然成立，理由如下：
如下图：
过点作交延长线于点
∴
∴
∵
∴
∴
学科网（北京）股份有限公司
又∵
∴
（3）如图，连接
∵平分
∴为△ABC和△ACE的内角角平分线
由（2）的性质可得，，
又∵
∴
∴
又∵
∴△BDE∽△BCA
∴
∴
∴△AEF∽△ACF
∴
3．我们定义：三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，那么称这个三角形是2倍角三角形．
（1）定义应用
如果一个等腰三角形是2倍角三角形，则其底角的度数为 　 　；
学科网（北京）股份有限公司
（2）性质探索
小思同学通过从“特殊到一般”的过程，对2倍角三角形进行研究，得出结论：
如图1，在△ABC中，如果∠A＝2∠B，那么BC2＝AC（AB＋AC）．
下面是小思同学对其中一种特殊情形的证明方法．
已知：如图2，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝45°．
求证：BC2＝AC（AB＋AC）．
证明：如图2，延长CA到D，使得AD＝AB，连接BD．
∴∠D＝∠ABD，AB＋AC＝AD＋AC＝CD
∵∠CAB＝∠D＋∠ABD＝2∠D，∠CAB＝90°
∴∠D＝45°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠D＝∠ABC，又∠C＝∠C
∴△ABC∽△BCD
∴
∴BC2＝AC•CD
∴BC2＝AC（AB＋AC）
根据上述材料提供的信息，请你完成下列情形的证