专题22 函数与公共点问题【考点精讲】-【人教版】备战2022年中考数学考点总复习（全国通用）（解析版）.docx

学科网（北京）股份有限公司
专题22 函数与公共点问题
知识导航
题型精讲
题型一：抛物线的形状、位置都固定
【例1】（2021焦作二模）如图,抛物线y=x2+2x+c与x轴的正半轴交于点B,与x轴的负半轴交于点A,与y轴的负半轴交于点C,且OA=2OB.
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标;
（2）将抛物线y=x2+2x+c在点A,C之间的部分(含A,C两点)记为G,若二次函数y=-x2-2x+m的图象与G只有一个公共点,求m的取值范围.
【解析】解:(1)设点B的坐标为(n,0),n>0.
∵OA=2OB,且点A在x轴的负半轴上,
∴点A的坐标为(-2n,0).
∵抛物线的对称轴为直线x=-22×1=-1,
∴n+(−2n)2=-1,
∴n=2,∴点B的坐标为(2,0).
把B(2,0)代入y=x2+2x+c,得c=-8,
学科网（北京）股份有限公司
∴抛物线的解析式为y=x2+2x-8.
∵y=x2+2x-8=(x+1)2-9,
∴抛物线的顶点坐标为(-1,-9).
(2)易知A(-4,0),C(0,-8).
把C(0,-8)代入y=-x2-2x+m,得m=-8.
把A(-4,0)代入y=-x2-2x+m,得m=8.
当二次函数y=-x2-2x+m的图象的顶点为(-1,-9)时,m=-10.
结合图象分析可知,符合题意的m的取值范围是-8<m≤8或 m=-10.
题型二：抛物线的形状或位置不固定
【例2】（2021广东广州）已知抛物线y=x2-(m+1)x+2m+3.
（1）当m=0时，请判断点(2,4)是否在该抛物线上;
（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标;
（3）已知点E(-1,-1)，F(3,7)，若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围.
【解析】解:(1)当m=0时,y=x2-x+3.
当x=2时,y=4-2+3=5,
故点(2,4)不在该抛物线上.
(2)∵y=x2-(m+1)x+2m+3=(x-m+12)2+-m2+6m+114,
∴抛物线的顶点坐标为(m+12,-m2+6m+114).
当顶点移动到最高处时,顶点的纵坐标最大,即-m2+6m+114的值最大.
∵-m2+6m+114=-14(m-3)2+5,
∴当m=3时,-m2+6m+114取得最大值,为5,此时m+12=2,
∴当顶点移动到最高处时,该抛物线的顶点坐标为(2,5).
(3)设线段EF所在直线的表达式为y=kx+b.
将E(-1,-1),F(3,7)分别代入,
得-k+b=−1,3k+b=7,解得k=2,b=1,
∴线段EF所在直线的表达式为y=2x+1.
学科网（北京）股份有限公司
联立y=x2-(m+1)x+2m+3,y=2x+1,得x2-(m+3)x+2m+2=0,
解得x1=2,y1=5,x2=m+1,y2=2m+3.
当x1=x2时,该抛物线与线段EF只有一个交点,
此时m+12=1.
当x1≠x2时,若该抛物线与线段EF只有一个交点,则m+1<-1或m+1>3,
∴m+12<-12或m+12>32.
综上所述,若该抛物线与线段EF只有一个交点,则该抛物线顶点横坐标m+12满足m+12=1或m+12<-12或m+12>32.
提分训练
1．（2021·江苏南京市）已知二次函数的图像经过两点．
（1）求b的值．
（2）当时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是________．
（3）设是该函数的图像与x轴的一个公共点，当时，结合函数的图像，直接写出a的取值范围．
【答案】（1）；（2）1；（3）或．
【分析】
（1）将点代入求解即可得；
（2）先求出二次函数的顶点的纵坐标，再利用完全平方公式、不等式的性质求解即可得；
（3）分和两种情况，再画出函数图象，结合图象建立不等式组，解不等式组即可得．
【详解】
解：（1）将点代入得：，
两式相减得：，
解得；
（2）由题意得：，
学科网（北京）股份有限公司
由（1）得：，
则此函数的顶点的纵坐标为，
将点代入得：，
解得，
则，
下面证明对于任意的两个正数，都有，
，
（当且仅当时，等号成立），
当时，，
则（当且仅当，即时，等号成立），
即，
故当时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是1；
（3）由得：，
则二次函数的解析式为，
由题意，分以下两种情况：
①如图，当时，则当时，；当时，，
即，
学科网（北京）股份有限公司
解得；
②如