人教版2020年九年级数学中考综合复习4： 开放与探索性问题 复习讲义.doc

综合复****四.开放与探索性问题
＆.综合评述：
开放与探索性问题改变了过去试题形式单一，知识点考查僵硬，不能充分调动学生的创新意识和探究兴趣的缺点，为学生提供了更广阔的思维空间，正因为如此，开放与探究性题成为近几年中考的热点题型之一。
一、开放性问题
这类题一般没有具体的标准答案，解题时要灵活运用所学基础知识，多层次、多角度地思考问题，解决问题，一般答案只要符合题意即可。
二、探究性问题
探究性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断、补充并加以证明的题型，探究性问题一般分为三类：1、条件探索型题；2、结论探究型题；3、探究存在型题。条件型题是指所给问题中结论明确，需要完备条件的题目；结论探究型题是指题目中的结论不确定，不唯一，或题目结论需要类比，引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论。探究存在型题是指在一定的基础上，需探究发现某种数学关系是否存在的题目。
这类问题具有较强的综合性，涉及的数学基础知识非常广泛。这种题型既能考查学生对基础知识掌握的熟练程度，又能较好的考查学生的观察、分析、概括能力，因此复****时，既要重视基础知识，又要强化数学思想方法训练，切实提高自己分析问题、解决问题的能力。
＆.典型例题剖析：
§.例1、多项式加上一个单项式后，使它成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是 .（填上一个你认为正确的即可）
思路点拨：本题主要考查了完全平方式。
解：按完全平方公式得，，另外，，，故其答案是或或或.
规律总结：本题属于条件探索题，可以从完全平方式入手，多层次、多角度思考问题，可繁可简，可难可易，一般答案只要符合题意即可。
常见错误：（1）错以为只有是完全平方式，其实也是完全平方式；（2）完全平方式中容易忽略中间项系数.
§.例2、（2019年荆门）多项式可以分解成两个一次因式的积，整数的值是 .（写出一个即可）
思路点拨：若让考生分解，则考生易得，考查面单一；若将代替，同时给定在整数范围内可因式分解的条件且要求探索的值，此时的值具有开放性.解答时，应根据根与系数的关系定理，先将分解
，然后可得或或，或.
答案：或或.
规律总结：解答此类条件开放题，关键是选准突破口，比如本题中根与系数的关系是突破口。
常见错误：因选不准突破口而导致乱解、错解。
§.例3、如图，为⊙的直径，是⊙的切线，切点为，为⊙的割线，的平分线交于点，交于，交于，要使，则应满足的条件是 .（只需填一个即可）
思路点拨：本题考查圆的性质及等腰三角形的判定。
解：方法一：根据等腰三角形“三线合一”的性质，只要，就可以得到；
图 1
F
P B C
D
A
E
O
方法二：根据圆的弦切角定理及三角形外角定理，得
，，
只需平分就可以得到.
具体答案为：（或平分）
规律总结：对于答案不唯一的题目，其解法有选择性，可择简而解之。
常见错误：忽略题目中限制条件而导致出错，如填成.
图 2
A B
F
E
D C
§.例4、如图，在□中，点、在对角线上，且.请你以为一个端点和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一组线段相等即可）.
（1）连结 ；
（2）猜想：；
（3）证明： ；
思路点拨：本题立足于一个常见的基本图形，把传统证明题改造成一个要求学生发现、猜想、证明的几何题，考查学生的发散思维能力。具体解法为：
解法一：（1）连结；（2）猜想：；
O
图 3
A B
F
E
D C
（3）证法一：∵四边形是平行四边形
∴，
∴
又∵
∴
∴
证法二：如图，连结、，设交于点.
∵四边形是平行四边形
∴，
又∵
∵，即
∴四边形是平行四边形
∴
解法二：（1）连结；（2）猜想：；（3）证明过程略.
规律总结：此类题目连结、猜想、证明是一体的，注意各个环节的具体要求。
常见错误：只注意问题的开放性，忽视问题的限制性条件而导致出错。
§.例5、已知，如图，是⊙的直径，是⊙上一点，连结，过点作直线于点（），点是上任意一点（点、除外），直线交⊙于点，连结
与直线交于点.
（1）求证：；
（2）若点是（点除外）上任意一点，上述结论是否仍然成立？若成立，请画出图形并给予证明；若不成立，请说明理由。
图 4-1