人教版2020年中考数学一轮复习培优训练：《三角形》.doc

2020年中考数学一轮复****培优训练：
《三角形》
1．点D为△ABC外一点，∠ACB＝90°，AC＝BC．
（1）如图1，∠DCE＝90°，CD＝CE，求证：∠ADC＝∠BEC；
（2）如图2，若∠CDB＝45°，AE∥BD，CE⊥CD，求证：AE＝BD；
（3）如图3，若∠ADC＝15°，CD＝，BD＝n，请直接用含n的式子表示AD的长．
2．如图，△ABC是等边三角形，D是BC边的中点，以D为顶点作一个120°的角，角的两边分别交直线AB、直线AC于M、N两点．以点D为中心旋转∠MDN（∠MDN的度数不变），当DM与AB垂直时（如图①所示），易证BM+CN＝BD．
（1）如图②，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC上时，BM+CN＝BD是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（2）如图③，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC的延长线上时，BM+CN＝BD是否仍然成立？若不成立，请写出BM，CN，BD之间的数量关系，不用证明．
3．如下图，在△ABC中，AB＝BC，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点F，BH⊥AB于点B，点M是BC的中点，连接FM并延长交BH于点H．
（1）在图1中，∠ABC＝60°，AF＝3时，FC＝　 　，BH＝　 　；
（2）在图2中，∠ABC＝45°，AF＝2时，FC＝　 　，BH＝　 　；
（3）从第（1）、（2）中你发现了什么规律？在图3中，∠ABC＝30°，AF＝1时，试猜想BH等于多少？并证明你的猜想．
4．在图1、2中，已知∠ABC＝120°，BD＝2，点E为直线BC上的动点，连接DE，以DE为边向上作等边△DEF，使得点F在∠ABC内部，连接BF．
（1）如图1，当BD＝BE时，∠EBF＝　 　；
（2）如图2，当BD≠BE时，（1）中的结论是否成立？若成立，请予以证明，若不成立请说明理由；
（3）请直接写出线段BD，BE，BF之间的关系式．
5．在△ABC中，AC＝BC，点E是在AB边上一动点（不与A、B重合），连接CE，点P是直线CE上一个动点．
（1）如图1，∠ACB＝120°，AB＝16，E是AB中点，EM＝2，N是射线CB上一个动点．
试确定点P和点N的位置，使得NP+MP的值最小．
①请你在图2中画出点P和点N的位置，并简述画法：　 　．
②直接写出NP+MP的最小值　 　．
（2）如图3，∠ACB＝90°，连接BP，∠BPC＝75°且BC＝BP求证：PC＝PA．
6．探究题：
如图，AB⊥BC，射线CM⊥BC，且BC＝5cm，AB＝1cm，点P是线段BC（不与点B、C重合）上的动点，过点P作DP⊥AP交射线CM于点D，连结AD．
（1）如图1，若BP＝4cm，则CD＝　 　；
（2）如图2，若DP平分∠ADC，试猜测PB和PC的数量关系，并说明理由；
（3）若△PDC是等腰三角形，则CD＝　 　cm．（请直接写出答案）
7．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点A（2，0）、B（0，1）．
（1）在图①中，点C坐标为　 　；
（2）如图②，点D在线段OA上，连接BD，作等腰直角三角形BDE，∠DBE＝90°，连接CE．证明：AD＝CE；
（3）在图②的条件下，若C、D、E三点共线，求OD的长；
（4）在y轴上找一点F，使△ABF面积为2．请直接写出所有满足条件的点F的坐标．
8．已知点P是线段MN上一动点，分别以PM，PN为一边，在MN的同侧作△APM，△BPN，并连接BM，AN．
（Ⅰ）如图1，当PM＝AP，PN＝BP且∠APM＝∠BPN＝90°时，试猜想BM，AN之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想；
（Ⅱ）如图2，当△APM，△BPN都是等边三角形时，（Ⅰ）中BM，AN之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，试说明理由．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，连接AB得到图3，当PN＝2PM时，求∠PAB度数．
9．阅读下列材料，完成（1）～（3）题：
数学课上，老师出示了这样一道题：
如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，E是AC的中点，经过点
A、C作射线BE的垂线，垂足分别为点F、G，连接AG．探究线段DF和AG的关系．某学****小组的同学经过思考后，交流了自己的想法：
小明：“经过观察和度量，发现∠ABF和∠ACG相等．”小刚：“经过观察和度量，发现有两条线段和AF相等．”