人教版2020年中考数学专题复习：二次函数图象综合应用.doc

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二次函数图象
综合应用

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题型一：二次函数图象与其解析式系数的关系
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图象性质：二次函数图象主要掌握开口方向、对称轴、顶点坐标、与坐标轴的交点、单调性和最值等方面．若二次函数解析式为（或）（），则：
开口方向
，越大，开口越小．
对称轴
（或）．
顶点坐标
，或，．
单调性
当时，在对称轴的左侧，随的增大而减小；在对称轴的右侧，随的增大而增大（如图1）；
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当时，在对称轴的左侧，随的增大而增大；在对称轴的右侧，随的增大而减小（如图2）
与坐标轴的交点
① 与轴的交点：；
② 与轴的交点：，其中是方程的两根．
图象与轴的交点个数
① 当时，图象与轴有两个交点．
② 当时，图象与轴只有一个交点．
③ 当时，图象与轴没有交点．
Ⅰ当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；
Ⅱ当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．
例题精讲
二次函数的图象如图所示，判断，，，，，，的符号
由图知：图象开口向上，所以；
函数的对称轴，所以；
函数图象与轴的交点小于，所以；
函数图象与轴有两个不同的交点，所以；
同时，所以；
所对应的函数值小于，所以；
所对应的函数值大于，所以
典题精练
⑴ 二次函数的图象如图所示，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
⑵ 二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象为（　　）
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A． B． C． D．
⑶ 一次函数、二次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图象如图所示，点的坐标为，则下列结论中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
⑴ B. ⑵ B．⑶D.
⑴ 如图，抛物线，，下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
）
⑵ 如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，若，则的值为 ．

⑴ A．提示：把代入即可．
⑵ ．提示：先把B代入，
得，再把代入即可．
⑴ 函数与的图象如图所示，有以下结论：①＞0；②；③；④当1＜x＜3时，．其中正确的为 ．
⑵ 已知二次函数的图象如图所示，有下列
个结论：①；②；③；④；⑤，（的实数）；⑥ ；⑦，⑧，其中正确的结论有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
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⑴ ③④
⑵ C．
对称轴在轴的右边得（由开口向下得，故），抛物线与轴交于正半轴得，∴，①不正确；
当时，函数值为，②不正确；
当时，函数值，③正确；
其实和到对称轴的距离相等，函数值相等得，∴代入，，即，④正确；
当，∵，，可知⑤正确；
由对称轴得，故⑥正确；
抛物线与轴有两个交点，故，故⑦不正确；
，，故，故⑧不正确．
题型二：二次函数的最值
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对于二次函数（表示的最大值，表示的最小值）
⑴ 若自变量的取值范围为全体实数，如图①，函数在顶点处时，取到最值．
⑵ 若，如图②，当，；当，．
⑶ 若，如图③，当，；当，．
⑷ 若，且，,如图④，当，；
当，．
例题精讲
⑴ 若为任意实数，求函数的最小值；
⑵ 若，求的最大值、最小值；
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⑶ 若，求的最大值、最小值；
⑷ 若，求的最大值、最小值；
⑸ 若为整数，求函数的最小值．
⑴ 套用求最值公式（建议教师讲配方法）：
当时，的最小值是．
⑵ 由图象可知：当时，函数单调递增，
当时，最小，且，
当时，最大，且．
⑶ 由图象可知：当时，函数是先减后增，
∴当，最小，且．
∵当时，；当时， ，
∴当时，最大，且．
⑷ 由函数图象开口向上，且，
故当时，取最大值为，当时，取最小值为．
⑸ ∵，当时，取最小值为．
由此题我们可以得到：求二次函数在给定区域内的最值，得看抛物线顶点横坐标是否在给定区域内．若在，则在顶点处取到一个最值，若不在，则在端点处取得最大值和最小值（其实求出端点值和顶点值，这三个值中最大的为最大值，最小的为最小值）．
典题精练
⑴ 已知m、n、k为非负实数，且，则代数式的最小值
为 ．