人教版2020年中考数学专题复习：全等到相似的转化.doc

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全等到相似的转化

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题型一：全等到相似的转化（对称型）
典题精练

已知正方形的边长为，点是射线上的一个动点，连接交射线于点，将沿直线翻折，点落在点处．
⑴ 当时，______，
⑵ 当时，求的值；
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⑶ 当时（点与点不重合），请写出翻折后与正方形公共部分的面积与的关系式，（只要写出结论，不要解题过程）．
⑴ 6 ；
⑵ ① 如图1，当点在上时，延长交于点，
∵，∴，∴．
∵，∴．
∵，∴．
又，∴．∴．
设，则，．
在中，由勾股定理得：
，解得．∴．
∴；
② 如图2，当点在延长线上时，延长交于点，
同①可得．
设，则．
在中，由勾股定理，得
，解得．∴．
∴．
⑶ ① 当点在上时，；
（所求的面积即为的面积，再由相似表示出边长）
② 当点在延长线上时，．
题型二：全等到相似的转化（旋转型）
典题精练
在和中，，，，、交于点．
⑴ 如图1，，则 ，与的数量关系是 ；
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⑵ 如图2，，则的度数为 （用含的式子表示），与之间的数量关系是 ；填写你的结论，并给出你的证明；
⑶ 请你继续完成下面探索：
如图3，在和中，，，，则的度数为 （用含的式子表示），与之间的数量关系是 ；填写你的结论，并给予证明．
此题考察学生对共顶点的三角形的全等与相似.解决这里夹角的主要思路是我们常见的模型“八字角”.
⑴ ，相等；
⑵，相等；
∵，∴
∴，∴，
∵，∴
∵，∴，∴．
⑶ ，.
易证，∴，
∵，∴，∴，
∴．
如图，直线与线段相交于点, 点和点在直线上，且.
⑴ 如图1所示，当点与点重合时 ，且，请写出与的数量关系和位置关系；
⑵ 将图1中的绕点顺时针旋转到如图2所示的位置，，⑴中的与的数量关系和位置关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
⑶ 将图2中的拉长为的倍得到如图3，求的值．
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【答案】⑴ ；
⑵ 仍然成立.
证明: 过点作于,过点作于
∴
∵,
∴≌
∴
∵
∴
∴
延长与的延长线相交点
∴
又∵
∴
∴
⑶ 过点作于,过点作于
易证
∴ ．
∵ ，
∴ ．
由⑵知 ．
．
如图，是由绕点顺时针旋转得到的，连结交斜边于点，的延长线交于点．
⑴ 证明：；
⑵ 设，，试探索、满足什么关系时，与是全等三角形，并说明理由．

⑴ 证明：∵是由绕点顺时针旋转得到的，
∴，，
∴
∴
又
∴
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⑵ 解：当时，
在¢中，∵
∴
在中，
，即，
∴．
∵，
∴
∴
由⑴知：，
∴.
如图，正方形的对角线与相交于点，正方形与正方形全等，射线与不过、、、四