人教版专题7 利用三边关系求线段和差或线段最值问题-备战2020年中考数学压轴题专题研究.doc

专题七：利用三边关系求线段和差或线段最值问题
模型讲解
（1）定直线l上一动点与异侧两点所连线段之和最小
[来源:学,科,网Z,X,X,K]
说明：当PO为直线AB与l的交点时，此时PA+PB最小
定直线l上一动点与同侧两点所连线段之和最小（将军饮马问题）
当A、P、B三点共线的时候，PA+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）
说明：作B关于l的对称点B′，连接A B′交l于点P，此时PA+PB最小
【方法指引】：我们利用三角形三边关系来求解两点之间的最值问题，往往需要我们构造一个三角形，这个三角形是是有条件的，即“这个三角形有两条边为定值，另外一边为需要我们求的那条边” ．
说明：“化折为直”是我们解决问题的根本．
（3）两定点A,B位于直线同侧，在直线上找一点P，使得|PA-PB|的值最大？
【方法指引】连接AB并延长交直线于点p，所以当且仅当A，B’，P三点共线时，|PA-PB|值最大。
（4）两定点A,B位于直线异侧，在直线上找一点P，使得|PA-PB|的值最大？
【方法指引】作点B关于直线的对称点B’，因为BP=B’P，所以当且仅当A，B’，P三点共线时，|PA-PB|值最大。
方法讲解
线段和差是初中阶段比较重要的一类问题，在选择、填空、压轴题和相应解答题中都有出现过，那么在处理相应线段和差问题时，我们要学会找到相应知识解决问题，可以从以下模型来进行考虑有关线段差的最大值与线段和的最小值问题所涉及的原理:
两点之间线段最短；
三角形的两边之和大于第三边（两线段和的最小值）；
（3）三角形的两边之差小于第三边（两线段差的最大值）。
典例剖析
类型一：定直线上一动点与同侧两定点所连线段之和最小
例1．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AB＝8，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值_____．
【分析】连接DE，利用轴对称可知PB=PD，所以PB＋PE=EP+PD，在△BEP中，利用三边关系，可知当点E，P，D在一条直线上时，PB+PE有最小值．
类型二：动态问题下构造三边关系来求最值
例2．如图，D在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是边AD一个动点，将△ABE沿BE对折成△BEF，则线段DF长的最小值为　　．
【分析】连接DF、BD，由DF＞BD﹣BF知点F落在BD上时，DF取得最小值，且最小值为BD﹣BF的长，再根据矩形和折叠的性质分别求得BD、BF的长即可．
类型三：定直线上一动点与同侧两定点所连线段之差最大
例3.如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+2的顶点为A，与y轴交于点B．
（1）求点A、点B的坐标；
（2）若点P是x轴上任意一点，求证：PA﹣PB≤AB；
（3）当PA﹣PB最大时，求点P的坐标．
【分析】（1）把抛物线解析式的一般式写成顶点式，可求顶点A坐标，令x＝0，y＝2，可得B点坐标；
（2）当A、B、P三点共线时，PA﹣PB＝AB，当三点不共线时，根据“三角形的两边之差小于第三边”可证结论；
（3）通过分析可知，PA﹣PB最大时，A、B、P三点共线，求直线AB解析式，令y＝0，可得P点坐标．
类型四：定直线上一动点与异侧两定点所连线段之差最大
例4.如图，在△ABC中，AB＝AC,AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB＝12，△BMC的周长是20，若点P在直线MN上，则PA－PB的最大值为（ ）
A. 12 B. 8 C. 6 D. 2
【分析】在MN上取点P，∵MN垂直平分AC，将PA、PB转到一个三角形中，利用三角形三边关系即可求得。
专题突破
1.如图，在正方形ABCD中，AB=9，点E在CD边上，且DE=2CE，点P是对角线AC上的一个动点，则PE+PD的最小值是（　　）
A． B． C．9 D．
2.如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC=120°，M是BC边的一个三等分点，P是对角线AC上的动点，当PB+PM的值最小时，PM的长是（　　）
A． B． C． D．
3.如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60º，AC与BD交于点O，点N在AC上且AN＝2，点M在BC上且BM＝BC,P为对角线BD上一点，则PM－PN的最大值为 .
4.如图：两点A、B在直线MN外的同侧，AB＝5，A到MN的距离AC＝8，B到MN的距离BD＝5，P在直线MN上运动，则|PA﹣PB|的最大值等于　 　．
5．如图，△ABC中，AB＝4，AC＝2，