人教版2020中考数学 专题练习：圆的综合题（含答案）.docx

2020中考数学 专题练****圆的综合题（含答案）
类型一　与全等结合
1. 如图，⊙O的直径AB＝4，C为⊙O上一点，AC＝2.过点C作⊙O的切线DC，P点为优弧上一动点(不与A、C重合)．
(1)求∠APC与∠ACD的度数；
(2)当点P移动到劣弧的中点时，求证：四边形OBPC是菱形；
(3)当PC为⊙O的直径时，求证：△APC与△ABC全等．
第1题图
(1)解：∵AC＝2，OA＝OB＝OC＝AB＝2，
∴AC＝OA＝OC，
∴△ACO为等边三角形，
∴∠AOC＝∠ACO＝∠OAC＝60°，
∴∠APC＝∠AOC＝30°，
又∵DC与⊙O相切于点C，
∴OC⊥DC，
∴∠DCO＝90°，
∴∠ACD＝∠DCO－∠ACO＝90°－60°＝30°；
第1题解图
(2)证明：如解图，连接PB，OP，
∵AB为直径，∠AOC＝60°，
∴∠COB＝120°，
当点P移动到的中点时，∠COP＝∠POB＝60°，
∴△COP和△BOP都为等边三角形，
∴OC＝CP＝OB＝PB，
∴四边形OBPC为菱形；
(3)证明：∵CP与AB都为⊙O的直径，
∴∠CAP＝∠ACB＝90°，
在Rt△ABC与Rt△CPA中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△CPA(HL)．
2. 如图，AB为⊙O的直径，CA、CD分别切⊙O于点A、D，CO的延长线交⊙O于点M，连接BD、DM.
(1)求证：AC＝DC；
(2)求证：BD∥CM；
(3)若sinB＝，求cos∠BDM的值．
第2题图
(1)证明：如解图，连接OD，
∵CA、CD分别与⊙O相切于点A、D，
∴OA⊥AC，OD⊥CD，
在Rt△OAC和Rt△ODC中，
，
∴Rt△OAC≌Rt△ODC(HL)，
∴AC＝DC；
(2)证明：由(1)知， △OAC≌△ODC，
∴∠AOC＝∠DOC，
∴∠AOD＝2∠AOC，
∵∠AOD＝2∠OBD，
∴∠AOC＝∠OBD，
∴BD∥CM；
(3)解：∵BD∥CM，
∴∠BDM＝∠M，∠DOC＝∠ODB，∠AOC＝∠B，
∵OD＝OB＝OM，
∴∠ODM＝∠OMD，∠ODB＝∠B＝∠DOC，
∵∠DOC＝2∠DMO，
∴∠DOC＝2∠BDM，
∴∠B＝2∠BDM，
如解图，作OE平分∠AOC，交AC于点E，作EF⊥OC于点F，
第2题解图
∴EF＝AE，
在Rt△EAO和Rt△EFO中，
∵，
∴Rt△EAO≌Rt△EFO(HL)，
∴OA＝OF，∠AOE＝∠AOC，
∴点F在⊙O上，
又∵∠AOC＝∠B＝2∠BDM，
∴∠AOE＝∠BDM，
设AE＝EF＝y，
∵sinB＝，
∴在Rt△AOC中，sin∠AOC＝＝，
∴设AC＝4x，OC＝5x，则OA＝3x，
在Rt△EFC中，EC2＝EF2＋CF2，
∵EC＝4x－y，CF＝5x－3x＝2x，
∴(4x－y)2＝y2＋(2x)2，
解得y＝x，
∴在Rt△OAE中，OE＝
＝＝x，
∴cos∠BDM＝cos∠AOE＝＝＝.
3. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，＝，BE⊥DC交DC的延长线于点E.
(1)求证：∠1＝∠BCE；
(2)求证：BE是⊙O的切线；
(3)若EC＝1，CD＝3，求cos∠DBA.
第3题图
(1)证明：如解图，过点B作BF⊥AC于点F，
∵＝，
∴AB＝BD
在△ABF与△DBE中，
，
∴△ABF≌△DBE(AAS)，
∴BF＝BE，
∵BE⊥DC，BF⊥AC，
∴∠1＝∠BCE；
(2)证明：如解图，连接OB，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，即∠1＋∠BAC＝90°，
∵∠BCE＋∠EBC＝90°，且∠1＝∠BCE，
∴∠BAC＝∠EBC，
∵OA＝OB，
∴∠BAC＝∠OBA，
∴∠EBC＝∠OBA，
∴∠EBC＋∠CBO＝∠OBA＋∠CBO＝90°，
∴∠EBO＝90°，
又∵OB为⊙O的半径，
∴BE是⊙O的切线；
第3题解图
(3)解：在△EBC与△FBC中，
∴△EBC≌△FBC(AAS)，
∴CE＝CF＝1.
由(1)可知：AF＝DE＝1＋3＝4，
∴AC＝CF＋AF＝1＋4＝5，
∴cos∠DBA＝cos∠DCA＝＝.
类型二　与相似结合
4. 如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝36°，过点A作AD∥BC，与∠ABC的平分线交于点D，BD与AC交于点E，与⊙O交于点F.
(1)求∠DAF的度数；
(2)求证：AE2＝