人教2023年高考数学二轮复习(全国版理) 第1部分 专题突破 专题1 培优点2　对数平均不等式、切线不等式.docx

培优点2　对数平均不等式、切线不等式
在高考压轴题中，经常考查与导数有关的不等式问题，这些问题可以用常规方法求解，也可以转变成对数平均不等式、切线不等式进行求解，起到事半功倍的效果．
考点一　对数平均不等式
例1　若a＞0，b＞0，a≠b，求证：＜＜.
证明　不妨设a＞b＞0，
①要证＜成立，
即证＜，
即证ln ＜，
即证ln ＜－，
令＝t(t＞1)，
则需证明2ln t＜t－(t＞1)，
构造函数f(t)＝2ln t－t＋(t＞1)，
则f′(t)＝－1－＝－＜0，
所以f(t)在(1，＋∞)上单调递减，又f(1)＝0，
所以f(t)<0，即2ln t＜t－，
原不等式得证．
②要证＜，
只需证2·＜ln ，
即证2·＜ln ，
令t＝(t＞1)，
即证2·＜ln t.
即证2－<ln t，
构造函数φ(t)＝2－－ln t(t>1)，
φ′(t)＝－＝<0，
∴φ(t)在(1，＋∞)上单调递减，
∴φ(t)<φ(1)＝0，即2－<ln t，
∴原不等式得证．
综上，＜＜.
规律方法　该类问题的特征是双变量，将双变量问题转变为单变量问题处理，即将看成一个新对象(整体)，从而进行降维打击．
跟踪演练1　已知函数f(x)＝－x＋aln x.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，证明：＜a－2.
(1)解　f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－－1＋＝－.
①若a≤2，则f′(x)≤0，当且仅当a＝2，x＝1时，f′(x)＝0，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
②若a＞2，令f′(x)＝0，得
x＝或x＝.
当x∈∪时，f′(x)＜0；
当x∈时，f′(x)＞0.
所以f(x)在，上单调递减，
在上单调递增．
(2)证明　由(1)知，f(x)存在两个极值点当且仅当a＞2.
由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2－ax＋1＝0，
所以x1x2＝1，不妨设x2>x1>0，
则x2＞1.
由于＝－－1＋
＝－2＋，
由对数平均不等式知
>＝1，
又x2>x1>0，
∴x1－x2<0，ln x1－ln x2<0，
∴0<<1，
∴＝－2＋<－2＋a，
即证原不等式成立．
考点二　以泰勒公式为背景的切线不等式
泰勒公式：将函数展开为一个多项式与一个余项的和．
f(x)＝f(x0)＋f′(x0)(x－x0)＋(x－x0)2＋…＋(x－x0)n＋Rn(x)，
其中余项Rn(x)＝(x－x0)n＋1(ξ在x0与x之间)，
当x0＝0时为麦克劳林公式．
其中ex与ln(1＋x)的麦克劳林公式为
ex＝1＋x＋x2＋x3＋o(x3)，ln(1＋x)＝x－x2＋x3＋o(x3)，
从中截取片段就构成了常见的不等式：
ex≥1＋x或ex≥1＋x＋(x≥0)，
ln(1＋x)≤x(x≥0)或ln x≤x－1(x>0)，ln(1＋x)≥x－(x≥0)，
例2　设函数f(x)＝aexln x＋，曲线y＝f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2.
(1)求a，b的值；
(2)证明：f(x)>1.
(1)解　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，