人教版专题12 计数原理（理）-2023年高考数学一轮复习小题多维练（全国通用）（解析版）.docx

专题12计数原理
一、单选题
1．（2022·全国·高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（       ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
【答案】B
【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解
【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，
故选：B
2．（2022·北京·高考真题）若，则（       ）
A．40 B．41 C． D．
【答案】B
【分析】利用赋值法可求的值.
【详解】令，则，
令，则，
故，
故选：B.
3．（2021·黑龙江·大庆实验中学高三开学考试（理））已知，设，则（       ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据组合数的性质得到，再利用赋值法求值即可.
【详解】因为，所以由组合数的性质得，
所以，
令，得，
即.
故选：C
4．（2022·河南洛阳·模拟预测（理））一个电路中含有（1）（2）两个零件，零件（1）含有A，B两个元件，零件（2）含有C，D，E三个元件，每个零件中有一个元件能正常工作则该零件就能正常工作，则该电路能正常工作的线路条数为（       ）
A．9 B．8 C．6 D．5
【答案】C
【分析】根据分步乘法计数原理即可求得
【详解】由分步乘法计数原理易得，该电路能正常工作的线路条数为条．
故选：C．
5．（2022·湖北·襄阳五中高三阶段练****二项式的展开式中含有常数项，则的最小值等于（       ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，令的指数为0，再根据的取值范围可求得结果
【详解】二项式的展开式为
，
令，，
则，
因为
所以当时，取得最小值3，
故选：B
6．（2022·广东广州·高三开学考试）的展开式中的系数是（       ）
A．45 B．84 C．120 D．210
【答案】C
【分析】利用二项展开式的通项公式，组合数的性质，求得含项的系数．
【详解】解：的展开式中，
含项的系数为，
故选：C．
7．（2021·河南·高三开学考试（理））的展开式中的系数为（       ）
A． B．60 C．12 D．
【答案】D
【分析】根据二项式展开式的通项公式，令，或，即可求得答案.
【详解】因为的展开式的通项：，
令，或，解得，（舍去），
所以的展开式中的系数为,
故选：D
8．（2022·江苏·盐城中学模拟预测）设集合，其中为自然数且，则符合条件的集合A的个数为（       ）
A．833 B．884 C．5050 D．5151
【答案】A
【分析】利用隔板法，然后排除有两个数相同的结果，再结合集合元素的无序性可得.
【详解】将100个小球排成一列，在101个空位（包括两段的空位）中插入第一个挡板，再在产生的102个空位中插入第二个挡板，将小球分成三段，分别记每段中的小球个数为a、b、c，共有种结果，
因为，所以a、b、c中含有两个0,1,2，…，50各有3种结果，
所以a、b、c三个数各不相等的结果共有个
因为三个元素的每种取值有6种不同顺序，
所以，由集合元素的无序性可知符合条件的集合A的个数为个.
故选：A
9．（2022·全国·高三专题练****已知函数（k，n为正奇数），是的导函数，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】依题意求出，再求出函数的导函数，根据二项式系数的特征求出，即可得解；
【详解】解：因为，
所以，
所以，
则，
其中，
所以，
所以；
故选：D
10．（2022·全国·高三专题练****文））伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一世纪的“巴赛尔级数”难题．当时，，又根据泰勒展开式可以得到，根据以上两式可求得（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由同时除以x，再利用展开式中的系数可求出.
【详解】由，两边同时除以x，
得，
又
展开式中的系数为，
所以，
所以．
故选：A．
11．（2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试）设集合，集合是集合的非空子集，中最大元素和最小元素的差称为集合的长度，那么集合所有长度为