人教第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 第6节　对数与对数函数.docx

第6节　对数与对数函数
考试要求　1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，的对数函数的图象；3.体会对数函数是一类重要的函数模型；4.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数.
1.对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
2.对数的性质、运算性质与换底公式
(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算性质
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R).
(3)换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1，N>0).
3.对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>1
0<a<1
图象
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)
当x>1时，y>0；
当0<x<1时，y<0
当x>1时，y<0；
当0<x<1时，y>0
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.
1.换底公式的两个重要结论
(1)logab＝(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1).
(2)logambn＝logab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0).
2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.
3.对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)log2x2＝2log2x.(　　)
(2)函数y＝log2(x＋1)是对数函数.(　　)
(3)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同.(　　)
(4)当x>1时，若logax>logbx，则a<b.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
解析　(1)log2x2＝2log2|x|，故(1)错误.
(2)形如y＝logax(a＞0，且a≠1)为对数函数，故(2)错误.
(4)若0<b<1<a，则当x＞1时，logax＞logbx，故(4)错误.
2.(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)(　　)
A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6
答案　C
解析　由题意知，4.9＝5＋lg V，得lg V＝－0.1，得V＝10－＝≈≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.
3.(2021·天津卷)设a＝log2 0.3，b＝log0.4，c＝0.40.3，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.a＜b＜c B.c＜a＜b
C.b＜c＜a D.a＜c＜b
答案　D
解析　∵log20.3＜log21＝0，∴a＜0.
∵log0.4＝－log20.4＝log2＞log22＝1，
∴b＞1.
∵0＜0.40.3＜0.40＝1，∴0＜c＜1，
∴a＜c＜b.
4.(易错题)函数y＝loga(x－1)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过的定点是________.
答案　(2，2)
解析　当x＝2时，函数y＝loga(x－1)＋2(a>0，且a≠1)的值为2，所以图象恒过定点(2，2).
5.(易错题)已知lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，则＝________.
答案　4
解析　∵lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，
∴lg(xy)＝lg(x－2y)2，
∴即
则x＝4y>0，∴＝4.
6.若函数y＝logax(a>0，a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝________.
答案　2或
解析　当0