人教第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 第7节　函数的图象.docx

第7节　函数的图象
考试要求　1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题．
1.利用描点法作函数的图象
步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.
2.利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)对称变换
y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象；
y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象；
y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象；
y＝ax(a>0，且a≠1)的图象y＝logax(a>0，且a≠1)的图象.
(3)伸缩变换
y＝f(x)y＝f(ax).
y＝f(x)y＝Af(x).
(4)翻折变换
y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象；
y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象.
1.函数图象自身的轴对称
(1)f(－x)＝f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于y轴对称；
(2)函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔
f(－x)＝f(2a＋x)；
(3)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称.
2.函数图象自身的中心对称
(1)f(－x)＝－f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于原点对称；
(2)函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称⇔f(a＋x)＝－f(a－x)⇔f(x)＝－f(2a－x)⇔f(－x)＝－f(2a＋x)；
(3)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x).
3.两个函数图象之间的对称关系
(1)函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称(由a＋x＝b－x得对称轴方程)；
(2)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称；
(3)函数y＝f(x)与y＝2b－f(－x)的图象关于点(0，b)对称；
(4)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同.(　　)
(2)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同.(　　)
(3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称.(　　)
(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
解析　(1)令f(x)＝－x，当x∈(0，＋∞)时，y＝|f(x)|＝x，y＝f(|x|)＝－x，两者图象不同，(1)错误.
(2)中两函数当a≠1时，y＝af(x)与y＝f(ax)是由y＝f(x)分别进行横坐标与纵坐标伸缩变换得到，两图象不同，(2)错误.
(3)y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称，(3)错误.
2.下列图象是函数y＝的图象的是(　　)
答案　C
解析　其图象是由y＝x2图象中x<0的部分和y＝x－1图象中x≥0的部分组成.
3.(2021·昆明质检)已知图①中的图象对应的函数为y＝f(x)，则图②中的图象对应的函数为(　　)
A.y＝f(|x|) B.y＝f(－|x|)
C.y＝|f(x)| D.y＝－|f(x)|
答案　B
解析　观察函数图象可得，②是由①保留y轴左侧及y轴上的图象，然后将y轴左侧图象翻折到右侧所得，结合函数图象的对称变换可得变换后的函数的解析式为y＝f(－|x|).
4.(2021·天津卷)函数y＝的图象大致为(　　)
答案　B
解析　设y＝f(x)＝，则函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
又f(－x)＝＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，排除A，C；
当x∈(0，1)时，ln|x|＜0，x2＋1＞0，
所以f(x)＜0，排除D.
5.(易错题)设f(x)＝2－x，g(x)的图象与f(x)的图象关于直线y＝x对称，h(x)的图象由g(x)的图象向右平移1个单位得到，则h(x)＝________.
答案　－log2(x－1)
解析　与f(x)的图象关于y＝x对称的图象所对应的函数为g(x)＝－log2x，再将其图象右移1个单位得到h(x)＝－log2(x－1