人教第33节 圆锥曲线中的最值范围问题探究性问题（解析版）.docx

第33节 圆锥曲线中的范围最值问题及探究性问题
基本技能要落实
考点一　最值问题
【例1】(2021·齐齐哈尔一模)已知椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.短轴的两个顶点与F1，F2构成面积为2的正方形，
(1)求Γ的方程；
(2)如图所示，过右焦点F2的直线交椭圆Γ于A，B两点，连接AO并延长，交Γ于点C，求△ABC面积的最大值.
【解析】(1)因为椭圆C的短轴的两个顶点与F1，F2构成面积为2的正方形，
所以b＝c，S正＝a2＝2，则a＝，b＝c＝1，
故椭圆Γ的方程为＋y2＝1.
(2)①当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，
联立消去y整理得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
所以|AB|＝·
＝·＝，
点O到直线kx－y－k＝0的距离d＝，
因为O是线段AC的中点，所以点C到直线AB的距离为2d＝，
所以△ABC面积S＝·|AB|·2d
＝××＝2·
＝2·<，
②当直线AB的斜率不存在时，不妨取A，B，C，
故△ABC面积S＝×2×＝，
综上，△ABC面积的最大值为.
【方法技巧】
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是几何方法，即通过利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.
【跟踪训练】
1.(2020·浙江卷)如图，已知椭圆C1：＋y2＝1，抛物线C2：y2＝2px(p＞0)，点A是椭圆C1与抛物线C2的交点，过点A的直线l交椭圆C1于点B，交抛物线C2于点M(B，M不同于A).
(1)若p＝，求抛物线C2的焦点坐标；
(2)若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值.
【解析】(1)由p＝，得抛物线C2的焦点坐标是.
(2)由题意可设直线l：x＝my＋t(m≠0，t≠0)，点A(x0，y0).
将直线l的方程代入椭圆C1：＋y2＝1，得
(m2＋2)y2＋2mty＋t2－2＝0，
所以点M的纵坐标yM＝－.
将直线l的方程代入抛物线C2：y2＝2px，得y2－2pmy－2pt＝0，
所以y0yM＝－2pt，解得y0＝，
因此x0＝.
由＋y＝1，得＝4＋2≥160，
当且仅当m＝，t＝时，p取到最大值.
考点二　范围问题
【例2】已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是双曲线C2：－y2＝1的左、右焦点，且C1与C2相交于点.
(1)求椭圆C1的标准方程；
(2)设直线l：y＝kx－与椭圆C1交于A，B两点，以线段AB为直径的圆是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点；若不恒过定点，请说明理由.
【解析】(1)将代入－y2＝1，解得m2＝1，
∴a2＝m2＋1＝2，
将代入＋＝1，解得b2＝1，
∴椭圆C1的标准方程为＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由整理得(9＋18k2)x2－12kx－16＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝，
Δ＝144k2＋64(9＋18k2)>0.
由对称性可知，以AB为直径的圆若恒过定点，则定点必在y轴上.
设定点为M(0，y0)，则
＝(x1，y1－y0)，＝(x2，y2－y0)，
·＝x1x2＋(y1－y0)(y2－y0)
＝x1x2＋y1y2－y0(y1＋y2)＋y
＝x1x2＋k2x1x2－(x1＋x2)－y0＋＋y
＝(1＋k2)x1x2－k(x1＋x2)＋y＋y0＋
＝＝0，
∴解得y0＝1，
∴M(0，1)，
∴以线段AB为直径的圆恒过定点(0，1).
【方法技巧】
解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
【跟踪训练】
1.(2022·齐鲁名校联合测试)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的焦距为2，左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l(不与x轴重合)交椭圆于A，B两点.
(1)若点A恰好为椭圆的上顶点，且|AB|＝|F1B|，求椭圆E的标准方程