人教精品解析：湖南省长沙市明德中学入学考试数学试题（解析版）.docx

明德中学2022年入学考试试卷
数 学
2022年8月
时量：120分钟 满分：150分
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 已知集合，，则A∪B＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由并集的定义求解即可．
【详解】∵，
∴．
故选：B．
2. 已知复数，则z的共轭复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】解：因为
所以
的共轭复数的虚部为．
故选：C．
3. “关于x的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由“关于的不等式对恒成立”解出的取值范围，
即可解决此题．
【详解】由“关于的不等式对恒成立”，
可得，解得：.
故选：B．
4. 设等差数列的前n项和为，且，，则取最小时，（ ）
A. 4045 B. 4044 C. 2023 D. 2022
【答案】D
【解析】
【分析】由已知，利用等差数列前n项和公式及其性质得，，进而得出结论．
【详解】等差数列的前项和为，且，，
，，
，，
，公差，则当时最小．
故选：D
5. 已知为角终边上一点，关于的函数有对称轴，则（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据任意角三角函数你会定义得，再根据题意得，再利用诱导公式求解即可.
【详解】因为为角终边上一点，所以，
，当时，，，
所以.
故选：A.
6. 已知函数.若函数 在区间内没有零点 ， 则的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】 ，
, 函数 在区间内没有零点
(1) ，则 ，则 ，取 ， ；
（2），则 ，解得： ，取 ， ；
综上可知： 的取值范围是，选.
【点睛】有关函数求的值及取值范围问题是近几年高考的重点考题，应引起足够的注意.本题首先利用降幂公式和辅助角公式把函数的解析式化为标准型，函数 在区间内没有零点，根据的范围求出的范围，使其在或在内，恰好函数无零点，求出的范围.
7. 己知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为、，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】已知条件得、及直线为，联立直线与渐近线方程求坐标，根据得，最后及离心率计算公式即可得出结果．
【详解】如下图示，
因为，，是中点，
所以是中点且，则，，
因为直线是双曲线的渐近线，
所以，，直线的方程为，
联立，解得，则，整理得，
因为，所以，.
故选：A
8. 已知，，其中，若恒成立，则实数的取值范围为（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】令，则，通过求导可设，则，推导出，令，利用导数可以证明函数在上单调递减，由此能求出实数的取值范围．
【详解】解：令，则，
当时，，当时，，
，设，则，
两式相减，得，则，，，
，
令，，
令，则，
令，则，
函数在上单调递减，即，
，函数在上单调递减，，
，，，
实数的取值范围为，
故选：C．
【点睛】对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得０分．）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 已知两非零向量，，若，则，的夹角为锐角
B. 若向量，则
C. 在中，若，则，反之也对
D. 在锐角中，若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】由 与 同向时夹角为不是锐角，判断A错误；
若向量，则，判断B正确；
由正弦定理可判断C正确；
根据锐角三角形三个内角