人教考向11构造函数比较大小（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（解析版）.docx

考向11 构造函数法比较大小
【2022年新高考1卷第7题】 设，，，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解法1：根据题意，构造函数，，，
对上述三个函数在处进行二阶泰勒展开
在时，显然即，即选C．
解法2：设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以。故选：C.
【2022年甲卷理第12题】已知，，，则
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解法1：根据题意，构造函数
对上述三个函数在处进行四阶泰勒展开
在时，显然即，即选A．
解法2：构造函数，，
则，
所以，因此，在上递减，所以，即．
另一方面，，显然时，，
所以，即．因此．即选A．
此类涉及到已知f(x)与f′(x)的一些关系式，比较有关函数式大小的问题，可通过构造新的函数，创造条件，从而利用单调性求解．
构造函数的考虑方向，主要是利用和、差函数求导法则构造函数:
①对于不等式f'(x)+g'(x)>0(或<0(，构造函数F(x)=f(x)+g(x)；
②对于不等式f'(x)-g'(x)>0(或<0(，构造函数F(x(=f(x)-g(x)；
③特别地，对于不等式f(x)>k(或<k)(k≠0)，构造函数F(x)=f(x)-kx.
1．下列命题为真命题的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】对于A选项，构造函数，所以在区间上，递减，在上，递增.所以在处取得极小值也即是最小值，所以，即.所以A选项正确.
对于B选项，由于A选项正确，所以B选项错误.
对于C选项，当时，，所以C选项不正确.
对于D选项，当时，，当且仅当时等号成立，所以D选项错误.
故选：A
2．已知，则的大小关系为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先用导数证明这两个重要的不等式
①，当且仅当时取“=”
，，，函数递减， 函数递增
故时函数取得最小值为0，故，当且仅当时取“=”
②，当且仅当时取“=”
，，，函数递增，函数递减，
故时函数取得最大值为0，故，当且仅当时取“=”
故，
故选：C
3．已知是自然对数的底数，是圆周率，下列不等式中，，，，正确的个数为（       ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【详解】构造函数，，
所以在区间上，递增；在区间上递减，
由于，所以，
所以：，
，
，
所以不等式正确的个数为.
故选：D
4．当时，，则下列大小关系正确的是（     ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】根据得到，而，
所以根据对数函数的单调性可知时，，
从而可得，函数单调递增，所以，
而，所以有.
故选D.
【点睛】本题主要考查函数的值的大小比较，在解题的过程中，注意应用导数的符号研究函数的单调性，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．
5．“”是“”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】令函数，当时，，
所以函数在区间上单调递增，则，即，故充分；
但是反之未必成立，比如取，易知，满足，但是不满足，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A．
【点睛】方法点睛： 充分条件和必要条件的三种判断方法：①定义法，即根据，进行判断；②集合法，即由，成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；③等价转化法，即根据一个命题与其逆否命题真假的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题，再进行判断．
6．若，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】令，则
当时，，当时，
即函数在上单调递减，在上单调递增
，由图象易知，
令，则
由于函数在上单调递减，，
则在上有唯一解，故在上有唯一解
即当时，，则函数在上单调递减
即，即
故选：C
【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于构造函数，利用导数得出函数的单调性，进而得出函数值的大小关系.
1．（2021·江西·模拟预测（理））若正实数，满足，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】先证明熟知的结论：恒成立，且当且仅当时取等号.
设,则,
在(0,1)上，,单