人教2023届高考数学一轮教案第19讲复数（全国）（Word含解析）.zip

第19讲 复数
【知识点总结】
一.基本概念
（1）叫虚数单位，满足 ，当时，.
（2）形如的数叫复数，记作.
①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部； Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）。两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数.
②两个复数相等（两复数对应同一点）
③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，.
二.基本性质
1.复数运算
（1）
（2）
其中，叫z的模；是的共轭复数.
（3）.
实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数.
2.复数的几何意义
（1）复数对应平面内的点；
（2）复数对应平面向量；
（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数.
（4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离.
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练****复数（为虚数单位）在复平面内的对应点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【详解】
解：因为，
所以复数在复平面内的对应点为，位于第二象限，
故选：B.
例2．（2022·全国·高三专题练****已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
因为，所以，
所以
故选：C
（多选题）例3．（2022·全国·高三专题练****若复数z满足，则（ ）
A．|z|=2 B．是纯虚数
C．复数z在复平面内对应的点在第三象限 D．若复数z在复平面内对应的点在角α的终边上，则sinα=
【答案】AB
【详解】
由题意，，A选项正确；
，B选项正确；
在复平面内对应点为，对应点在第一象限，C选项错误；
，D选项错误.
故选：AB.
例4．（2022·上海·高三专题练****已知复数，则___________.
【答案】2
【详解】
解：，
则.
故答案为：2.
例5．（2022·江苏·高三专题练****已知其中是实数，是虚数单位，则_________
【答案】
【详解】
由，可得
则，解得.
故答案为：.
例6．（2022·全国·高三专题练****若复数，其中为虚数单位，则的虚部为_____________.
【答案】-1
【详解】
，所以虚部为-1.
故答案为：-1.
例7．（2022·全国·高三专题练****复数在复平面内对应的点位于第一象限，则实数的取值范围是_____________.
【答案】
【详解】
因为，
所以在复平面中所对应的点的坐标为，
令，解得.
故答案为：.
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·模拟预测）已知，，，复数的实部为，虚部为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由复数的除法运算化简复数后结合复数的定义可得．
【详解】
，所以，，
所以.
故选：A.
2．（2022·全国·高三专题练****设，则z的共轭复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先对复数化简，从而可求出其共轭复数，进而可求出其虚部
【详解】
因为，
所以，
所以的虚部为，
故选：C
3．（2022·全国·高三专题练****下列命题中∶①两个复数不能比较大小；②若，则当且仅当
时，为纯虚数；③则；④；⑤若实数与对应，则实数集与纯虚数集一一对应；
其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】
根据复数的概念，逐项判断，即可得到结果.
【详解】
复数 (为实数)，当时可以比较大小，当时，不能比较大小，故①错误;
复数，当为实数且时，为纯虚数，故②错误;
若,则，但不成立，故③错误;
只有当时，有，故④错误;
若，则，不是纯虚数，故⑤错误.
综上可知，有0个命题正确.
故选：A.
4．（2022·全国·高三专题练****若，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据复数的乘法运算和相等复数的性质，求出，再根据，得出，从而可求出的取值范围.
【详解】
解：因为， 所以，
所以，解得：，
因为，所以，解得：或，
则实数的取值范围是.
故选：B.
5．（2022·全国·高三专题练****文））已知复数的共轭复数为，若（i为虚数单位），则复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．