人教第3章 导数及其应用 第2节　导数与函数的单调性.doc

第2节　导数与函数的单调性
考试要求　1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)；2.利用导数研究函数的单调性，并会解决与之有关的方程(不等式)问题.
1.函数的单调性与导数的关系
函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：
(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；
(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；
(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.
2.利用导数求函数单调区间的基本步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)由f′(x)>0(或<0)解出相应的x的取值范围.
当f′(x)>0时，f(x)在相应的区间内是单调递增函数；
当f′(x)<0时，f(x)在相应的区间内是单调递减函数.
3.单调性的应用
若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调，则y＝f′(x)在该区间上不变号.
若函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f′(x)≥0，所以“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.(　　)
(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性.(　　)
(3)函数在(a，b)内单调递减与函数的单调递减区间为(a，b)是不同的.(　　)
(4)函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
解析　(1)f(x)在(a，b)内单调递增，则有f′(x)≥0.
2.(易错题)函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是(　　)
A.(0，1] B.[0，＋∞)
C.(－∞，－1] D.[－1，0)∪(0，1]
答案　A
解析　由题意知f′(x)＝2x－＝(x>0)，
由f′(x)≤0，得0<x≤1.
3.(2017·浙江卷)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)
答案　D
解析　设导函数y＝f′(x)与x轴交点的横坐标从左往右依次为x1，x2，x3，
由导函数y＝f′(x)的图象易得当x∈(－∞，x1)∪(x2，x3)时，f′(x)<0；
当x∈(x1，x2)∪(x3，＋∞)时，f′(x)>0(其中x1<0<x2<x3)，所以函数f(x)在(－∞，x1)，(x2，x3)上单调递减，在(x1，x2)，(x3，＋∞)上单调递增，观察各选项，只有D选项符合.
4.函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为(　　)
A.(－1，1) B.(－1，＋∞)
C.(－∞，－1) D.R
答案　B
解析　由f(x)>2x＋4，得f(x)－2x－4>0，设F(x)＝f(x)－2x－4，则F′(x)＝f′(x)－2，因为f′(x)>2，所以F′(x)>0在R上恒成立，所以F(x)在R上递增，而F(－1)＝
f(－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f(x)－2x－4>0等价于F(x)>F(－1)，所以x>－1，故选B.
5.(易错题)若函数f(x)＝x3－x2＋ax＋4的单调递减区间为[－1，4]，则实数a的值为________.
答案　－4
解析　f′(x)＝x2－3x＋a，且f(x)的单调递减区间为[－1，4]，∴f′(x)＝x2－3x＋a≤0的解集为[－1，4]，
∴－1，4是方程f′(x)＝0的两根，
则a＝(－1)×4＝－4.
6.(2021·青岛检测)已知函数f(x)＝sin 2x＋4cos x－ax在R上单调递减，则实数a的取值范围是________.
答案　[3，＋∞)
解析　f′(x)＝2cos 2x－4sin x－a
＝2(1－2sin2x)－4sin x－a
＝－4sin2x－4sin x＋2－a＝－(2sin x＋1)2＋3－a.
由题设，f′(x)≤0在R上恒成立.
因此a≥3－(2sin x＋1)2恒成立，则a≥3.
考点一　不含参函数的单调性
1.函数f(x)＝x＋＋2ln x的单调递减区间是(　　)
A.(－3，1) B.(0，1)
C.(－1，3) D.(0，3)
答案　B
解析　法一　函数的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝1－＋，令f′(x)＝1－＋<0，得0<x<1，故所求函数的单调递减区间为(0，1)，故选