人教2023年高考数学二轮复习(全国版理) 第1部分 专题突破 专题7 第1讲　坐标系与参数方程.docx

第1讲　坐标系与参数方程
[考情分析]　本节内容在高考中主要考查极坐标、参数方程与普通方程的相互转化，以及直线与曲线的位置关系等，中等难度．
考点一　极坐标方程
核心提炼
直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．如图，设M是平面内任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，
则或
例1　(2022·西安模拟)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的方程为x2＋(y－1)2＝1，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.
(1)求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；
(2)曲线C3：θ＝α分别交曲线C2和曲线C1于点A，B，求的最大值及相应α的值．
解　(1)曲线C1的方程为x2＋y2＝2y，
由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
得C1的极坐标方程为ρ＝2sin θ，
由曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2，
得曲线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.
(2)由曲线 C2的极坐标方程为ρsin＝2，
令θ＝α，
则|OA|＝，又因为|OB|＝2sin α，
∴＝sin α(sin α＋cos α)＝sin2 α＋sin αcos α
＝(1－cos 2α＋sin 2α)＝sin＋.
∵0<α<，∴－<2α－<，
∴当2α－＝，即α＝时，
取得最大值.
易错提醒　在与曲线的直角坐标方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性．
跟踪演练1　(2022·安阳模拟)在直角坐标系xOy中，⊙C1的圆心为C1(1,1)，半径为.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C2的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
(1)求⊙C1的极坐标方程，并判断⊙C1，⊙C2的位置关系；
(2)求经过曲线C1，C2交点的直线的斜率．
解　(1)由题意，⊙C1的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，即x2＋y2－2x－2y＝0，
故⊙C1的极坐标方程为ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ，即ρ＝2cos θ＋2sin θ，又⊙C2的极坐标方程为ρ2＝2ρcos θ，即x2＋y2＝2x，即(x－)2＋y2＝2.因为|C1C2|＝＝，⊙C1与⊙C2半径相等，半径和为2，且0<|C1C2|＝<＝2<2，故⊙C1，⊙C2相交．
故⊙C1的极坐标方程ρ＝2cos θ＋2sin θ，⊙C1，⊙C2相交．
(2)由(1)得，⊙C1：ρ＝2cos θ＋2sin θ，⊙C2：ρ＝2cos θ均经过极点且相交，联立
有2cos θ＋2sin θ＝2cos θ，显然cos θ≠0，故2＋2tan θ＝2，即tan θ＝－1，即经过曲线C1，C2交点的直线的斜率为－1.
考点二　参数方程
核心提炼
常见曲线的参数方程
(1)圆
以O′(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程为
(α为参数)
当圆心在(0,0)时，方程为(α为参数)
(2)椭圆
椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程为(φ为参数)
椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程为(φ为参数)
(3)直线
经过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数)
例2　(2022·全国甲卷)在直角