人教版专题08 求数列的前n项和（解析版）.docx

专题08 求数列的前n项和
一、核心先导
二、考点再现
【考点1】公式法
1.等差数列前n项和
2.等比数列前n项和 公比含字母时一定要讨论
3.其他常用求和公式
①；
②
③；
④
【考点2】裂项相消求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
（1） [一般]
（2）
（3）
（4）
（5）
【考点3】错位相减求和
数列{an·　bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. 求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法。
三、考点解密
题型一:公式法
例1、（2022·新疆·三模（文））设为数列的前n项和，若，则________．
【答案】5
【分析】根据递推式求得 ，再利用并项求和的方法,即可求得答案.
【详解】由可知， ，
且，
故，
故答案为：5
【变式训练1-1】、（2021·贵州毕节·模拟预测（理））等比数列中，，，成公差不为0的等差数列，
，则数列的前9项和（    ）
A． B．387 C． D．297
【答案】B
【分析】先设等比数列的公比为，结合条件可知，由等差数列的中项可知，利用等比数列的通项公式进行化简求出，最后利用分组求和法，以及等比数列和等差数列的求和公式，即可求出数列的前9项和.
【详解】解：设等比数列的公比为，
，，成公差不为0的等差数列，则，，都不相等，
，且，
，，
，即，解得：或（舍去），
，所以数列的前9项和：
.
故选：B.
例2．（2022·四川·宜宾市叙州区第二中学校模拟预测（理））已知正项数列满足，.
(1)计算,，猜想的通项公式并加以证明；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1),,,证明见解析;
(2).
【分析】（1）分别,，即可求得,,由此可猜想，用数学归纳法证明即可；
（2）结合（1）的结论可得的表达式，分组求和即可求得答案.
【详解】（1）当时，；
当时，；
猜想.
证明如下：
当时，成立；
假设时，成立；
那么时，,
即时，，
则对任意的，都有成立.
（2）由题意得，
.
【变式训练2-1】、（2022·浙江台州·模拟预测）已知公差为2的等差数列中，，，成等比数列.
(1)求；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意，用表示，求解即可；
（2）结合等差、等比求和公式，分组求和即可.
【详解】（1）因为，，成等比数列，所以，
又因为等差数列的公差为2，
所以，
解得，
所以；
（2）由题意，
由于，故为以为首项，公比为4的等比数列，
所以
.
题型二:裂项相消求和
例3、（福建省漳州市2022届高三毕业班第一次教学质量检测数学试题）已知正项等比数列的前n项和为，，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由已知，设出数列公比，根据条件列出方程组，通过解方程即可求解出和，然后利用等比数列通项公式即可求解；
（2）由第（1）问求解出的通项公式，带入到中化简并进行裂项，然后求解其前n项和.
(1)
由已知可得，设等比数列的公比为，因为，，
所以或（舍去），可得，
，解得，
所以，
故的通项公式为
(2)
由第（1）问可知，，
所以,，
所以，
所以，
数列的前n项和为.
【变式训练3-1】、（福建省漳州市2021-2022学年高二上学期期末质量检测数学试题）已知等差数列的前项和为，，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：数列的前项和.
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出数列的通项公式；
（2）求得，利用裂项法可求得，即可证得原不等式成立.
(1)
解：设等差数列的公差为，则，解得，
因此，.
(2)
证明：，
因此，
.
故原不等式得证.
【变式训练3-2】、（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）已知是公差为1的等差数列，且成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)