人教第9章 平面解析几何 第5节　椭圆 第一课时　椭圆及其性质.docx

第5节　椭　圆
考试要求　1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
1.椭圆的定义
在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：
(1)若a＞c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a＜c，则集合P为空集.
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1
(a>b>0)
＋＝1
(a>b>0)
图形
性质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，
A2(a，0)，
B1(0，－b)，
B2(0，b)
A1(0，－a)，
A2(0，a)，
B1(－b，0)，
B2(b，0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝∈(0，1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
1.点P(x0，y0)和椭圆的位置关系
(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔＋<1；
(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔＋＝1；
(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔＋>1.
2.若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则
(1)b≤|OP|≤a；
(2)a－c≤|PF|≤a＋c.
3.焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形，r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a>b>0)中：
(1)当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；
(2)S＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
4.焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝.
5.AB为椭圆＋＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则直线AB的斜率kAB＝－.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.(　　)
(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.(　　)
(3)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形.(　　)
(4)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相同.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
解析　(1)由椭圆的定义知，当该常数大于|F1F2|时，其轨迹才是椭圆，而常数等于|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2，常数小于|F1F2|时，不存在这样的图形.
(2)因为e＝＝＝，所以e越大，则越小，椭圆就越扁.
2.(易错题)(2022·济南联考)“2<m<6”是“方程＋＝1表示的曲线为椭圆”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　B
解析　若方程＋＝1表示的曲线为椭圆，
则解得2<m<6，且m≠4，
故“2<m<6”是“方程＋＝1表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件.
3.(2021·新高考Ⅰ卷)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　)
A.13 B.12 C.9 D.6
答案　C
解析　由椭圆C：＋＝1，得|MF1|＋|MF2|＝2×3＝6，则|MF1|·|MF2|≤＝32＝9，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时等号成立.
4.(2021·洛阳模拟)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是(　　)
A.长轴长为 B.焦距为
C.短轴长为 D.离心率为
答案　D
解析　把椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得＋＝1，所以a＝，b＝，c＝，则长轴长2a＝1，焦距2c＝，短轴长2b＝，离心率e＝＝.
5.(易错题)已知椭圆＋＝1(m>0)的离心率e＝，则m的值为________.
答案　3或
解析　若a2＝5，b2＝m，则c＝.
由＝，即＝，解得m＝3.
若a2＝m，b2＝5，则c＝.
由＝，即＝，解得m＝.
综上，m＝3或.
6.(2021·全国甲卷)已知F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2