人教第11章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第2节　排列与组合.docx

第2节　排列与组合
考试要求　1.理解排列、组合的概念；2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式；3.能解决简单的实际问题.
1.排列与组合的概念
名称
定义
排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
按照一定的顺序排成一列
组合
合成一组
2.排列数与组合数
(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.
(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.
3.排列数、组合数的公式及性质
公式
(1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝.
(2)C＝＝
＝(n，m∈N*，且m≤n).
特别地C＝1
性质
(1)0！＝1；A＝n！.
(2)C＝C；C＝C＋C
1.解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法).分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏.
2.对于分配问题，一般先分组、再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.(　　)
(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.(　　)
(3)若组合式C＝C，则x＝m成立.(　　)
(4)(n＋1)！－n！＝n·n！.(　　)
(5)kC＝nC.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√
解析　(1)元素相同但顺序不同的排列是不同的排列，故(1)错；(2)一个组合中取出的元素不讲究顺序，元素相同即为同一组合，故(2)错；(3)若C＝C，则x＝m或n－m，故(3)错.
2.(易错题)不等式A<6×A的解集为(　　)
A.{2，8} B.{2，6} C.{7，12} D.{8}
答案　D
解析　<6×，
∴x2－19x＋84<0，解得7<x<12.
又x≤8，x－2≥0，
∴7<x≤8，x∈N*，即x＝8.
3.(2021·全国乙卷)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有(　　)
A.60种 B.120种 C.240种 D.480种
答案　C
解析　分两步安排：第一步，先将5人分为4组，其中一组有2人，另外三组各1人，共有C＝10种分法，第二步：将分好的4组安排到4个项目中，共有A＝24种排法，根据分步乘法计数原理得到不同的分配方案共有C·A＝240种，故选C.
4.(2021·黑龙江六校联考)电影《夺冠》讲述中国女排姑娘们顽强奋斗、为国争光的励志故事，打造一部见证新中国体育改革40年的力作，该影片于2020年9月25日正式上映.在《夺冠》上映当天，一对夫妇带着他们的两个小孩一起观看该影片，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起.为安全起见，影院要求每个小孩子要有家长相邻
陪坐，则不同的坐法种数是(　　)
A.8 B.2 C.16 D.20
答案　C
解析　法一　将4个座位编号如下，4人的座位可分四种情况，①④坐家长②③坐孩子、①④坐孩子②③坐家长、①③坐家长②④坐孩子、①③坐孩子②④坐家长.
所以不同的坐法种数为4AA＝16，故选C.
①
②
③
④
法二　当两个孩子挨着坐且坐座位两端时有一个孩子两侧均无家长，所以不同的坐法种数为A－2AA＝16，故选C.
5.(2021·郑州调研)计算C＋C＋C＋C的值为________(用数字作答).
答案　210
解析　原式＝C＋C＋C＝C＋C＝C＝C＝210.
6.(易错题)某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法种数为________.
答案　30
解析　分两种情况：(1)A类选修课选1门，B类选修课选2门，有CC种不同的选法；(2)A类选修课选2门，B类选修课选1门，有CC种不同的选法.
所以不同的选法共有CC＋CC＝18＋12＝30(种).
考点一　排列问题
例1 有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.
(1)选5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体排成一排，女生必须站在一起；
(4)全体排成一排，男生互不相邻；
(5)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；
(6)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边；
(7)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定.
解　(1)从7人中选5人排列，有A＝7×6