人教第15节 三角函数的的图象及性质（解析版）.docx

第15节 三角函数的图象及性质
基础知识要夯实
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).
(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1).
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
{x x≠kπ＋}
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性[来源:学科网]
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间

[2kπ－π，2kπ]
递减区间
[2kπ，2kπ＋π]
无
对称中心
(kπ，0)
对称轴方程
x＝kπ＋
x＝kπ
无
核心素养要做实[来源:学科网]
考点一　三角函数的单调性　
角度1　求三角函数的单调性
【例1－1】 （2020·四川省泸县第四中学高一月考）已知函数
（1）求函数的最小正周期和单调增区间；
（2）求函数在区间上的最大值．
【答案】（1）,（2）
【解析】（1）
[来源:学科网ZXXK]
∴的最小周期；
由题意得
令，
得：，
∴函数的单调递增区间为；
（2）由（1）知在区间上为增函数；
∴在区间上为增函数；
即在区间上为增函数；
∴在区间上的最大值=
角度2　已知单调性求参数
【例1－2】（2020·辽河油田第二高级中学高一期中）函数在上单调递增，则的范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题得，
所以函数的最小正周期为,
因为函数在上单调递增，
所以，又w＞0，所以.故选B
【方法技巧】1.求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.
2.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.
【跟踪训练】
1.已知函数的最小正周期为.
（1）求的值及函数的单调增区间；
（2）当时，求函数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】（1），
因为的最小正周期为，所以.
所以
由，
得
所以函数的单调增区间为
（2）因为，所以，
所以
所以函数在上的取值范围是.
2. 已知函数在上单调递减，在上单调递增，则( )
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【解析】∵函数在上单调递减，在上单调递增，
∴当时，函数取得最小值，
∴，∴．
又，∴，
∴，∴，
∴．选A．
3．若函数在区间上单调递减，则的取值范围是( )
A．0≤≤ B．0≤≤ C．≤≤3 D．≤≤3
【答案】D
【解析】令ωx（k∈Z），则x
∵函数f（x）＝sinωx（ω＞0）在区间上单调递减，
∴且
当满足题意，∴故选：D．
考点二　三角函数的周期性、奇偶性、对称性　多维探究
【例2】1.（2020·上海高三专题练****下列函数中，既为偶函数又在上单调递增的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于函数，当时无意义，在上不单调，故A不正确；
函数在上单调递减，故B不正确；
函数是偶函数，在上单调递增，故C正确；
当时， 函数单调递减，故D不正确.故选：C
2.．（2022·四川省高一期末）函数是（ ）
A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数
C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数
【答案】C
【解析】由题得，
设，函数的定义域是,
所以函数的最小正周期为，
由于，
所以函数是奇函数.故选：C.
3.．（2022·大连市普兰店区第一中学高一月考）给出的下列命题中正确的是（ ）
A．若，是第一象限角，且，则
B．函数是奇函数
C．是函数的一条对称轴
D．在区间上的最大值是，最小值为.
【答案】B
【解析】对于A，若，，满足，是第一象限角，且，
但是不成立，故A错误；
对于B，，
令，则，
所以，
所以为奇函数，故B正确；
对于C，，
，解得，
所以不是函数的对称轴，故C错误；
对于D，
，，
，，
在区间上的最大值