人教考点5-2 向量基底、模与数量积(文理）-2023年高考数学一轮复习小题多维练（全国通用）（解析版）.docx

考点5-2 向量基底、模与数量积
1．（2020·山东·高考真题）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用向量的线性运算，即可得到答案；
【详解】
连结，则为的中位线，
，
故选：A
2．（2022·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；
【详解】
解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，
因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，
设，，
所以，，
所以
，其中，，
因为，所以，即；
故选：D
             
3．（2022·全国·高考真题（理））已知向量满足，则（       ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】
根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
【详解】
解：∵，
又∵
∴9，
∴
故选：C.
4.（2022·全国·高考真题（理））设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．
【答案】
【分析】
设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得．
【详解】
解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，
又，，所以，
所以．
故答案为：．
5．（2021·全国·高考真题）已知向量，，，_______．
【答案】
【分析】
由已知可得，展开化简后可得结果.
【详解】
由已知可得，
因此，.
故答案为：.
6．（2023·河南·洛宁县第一高级中学一模（文））设向量，夹角的余弦值为，且，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据向量的数量积公式及向量的数量积的运算律即可求解.
【详解】
因为向量，夹角的余弦值为，且，，
所以.
所以．
故选：B.
7．（2023·全国·高三专题练****已知是平面内两个不共线向量，，，A，B，C三点共线，则m＝（       ）
A．－ B． C．－6 D．6
【答案】C
【分析】
根据向量共线定理，列方程求即可.
【详解】
因为A，B，C三点共线，
所以，共线，又是平面内两个不共线向量，
所以可设，因为，，
所以，
所以，
所以，
故选：C.
8．（2022·全国·高三专题练****在平行四边形中，设，，为的中点，与交于，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据题意得，再分析求解即可.
【详解】
如下图所示，连接与交于，则为的中点，因为为的中点，
所以为三角形的重心，所以.
故选：B.
9.（2023·全国·高三专题练****已知△ABC的面积为S满足，且，与的夹角为θ.则与夹角的取值范围_________．
【答案】.
【分析】
由题，结合面积公式，向量点乘定义，可得，进一步讨论θ的取值范围即可
【详解】
由题，，∴，
，，θ为锐角，
∵，即，又，
∴，即，∴，
，
故答案为：
10．（2022·上海·模拟预测）若，且满足，则___________.
【答案】##
【分析】
设，利用数量积定义求出，即可求出.
【详解】
因为，所以，设.
由可得：，
两式相除得：.
又，且
解得：.
因为，所以，解得：.
故答案为：.
11.（2023·全国·高三专题练****已知平面向量、、满足，则与所成夹角的最大值是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设与夹角为，与所成夹角为，利用平面向量的数量积可得出，并可得出，利用基本不等式可求得的最小值，可得出的取值范围，即可得解.
【详解】
设与夹角为，与所成夹角为，
，
所以，，①
，②
又，③
②与③联立可得，④
①④联立可得
，
当且仅当时，取等号，，，则，
故与所成夹角的最大值是，
故选：A.
【点睛】
方法点睛：求平面向量夹角的方法：
（1）定义法：利用向量数量积的定义得，其中两向量的取值范围是；
（2）坐标法：若非零向量、，则.
12．（2023·全国·高三专题练****已知 与为单位向量，且⊥，向量满足，则||的可能取值有（       ）
A．6 B．5 C．4 D．3