人教考向43二项分布、正太分布及其应用（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（解析版）.docx

考向43 二项分布、正态分布及其应用
1.（2021·新高考2卷T6）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是
A.越小，该物理量在一次测量中在的概率越大
B.越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C.越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D.越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等
【答案】D
【解析】对于A，为数据的方差，所以越小，数据在附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故A正确；
对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为，故B正确；
对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于的概率与小于的概率相等，故C正确；
对于D，因为该物理量一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，所以一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，故D错误.
故选：D.
2．（2022·新高考2卷T13）已知随机变量服从正态分布，且，则　 　．
【答案】0．14
【解析】由题意可知，，故．
3．（2019·天津·高考真题（理））设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
（Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
【分析】(Ⅰ)由题意可知分布列为二项分布，结合二项分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二项分布的期望公式求解数学期望即可；
(Ⅱ)由题意结合独立事件概率公式计算可得满足题意的概率值.
【详解】(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为，
故，从面.
所以，随机变量的分布列为：
0
1
2
3
随机变量的数学期望.
(Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为，则.
且.
由题意知事件与互斥，
且事件与，事件与均相互独立，
从而由(Ⅰ)知：
.
1.二项分布的均值与方差
(1)如果X～B(n，p)，则用公式E(X)＝np；D(X)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量.
(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aX＋b)＝aE(X)＋b以及E(X)＝np求出E(aX＋b)，同样还可求出D(aX＋b).
2.关于正态总体在某个区间内取值的概率求法
(1)熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．
(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等；②P(X<a)＝1－P(X≥a)，P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)．
1．均值与方差的关系：D(X)＝E(X2)－E2(X)．
2．超几何分布的均值：若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝.
3.若X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正态曲线的关于直线X＝μ对称和曲线与x轴之间的面积为1.
一、单选题
1．已知随机变量服从正态分布，若，则（    ）
A．0.977 B．0.954 C．0.5 D．0.023
【答案】B
【解析】随机变量服从正态分布，
若，则依据正态曲线的性质有
故选：B
2．已知随机变量，若，则（    ）
A．0.36 B．0.18 C．0.64 D．0.82
【答案】C
【解析】因为，所以，所以．
故选:C．
3．从一个装有4个白球和3个红球的袋子中有放回地取球5次，每次取球1个，记X为取得红球的次数，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得：从一个装有4个白球和3个红球的袋子中取出一个球，是红球的概率为，
因为是有放回的取球，所以，
所以
故选：D
4．若随机变量，，若，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，，解得，则，所以.
故选：A.
5．高考是全国性统一考试，因考生体量很大，故高考成绩近似服从正态分布一般正态分布可以转化为标准正态分布，即若，令，则，且．已知选考物理考生总分的全省平均分为460分，该次考试的标准差为40，现从选考物理的考生中随机抽取30名考生成绩作进一步调研，记为这30名考生分数超过52