人教第1章 集合与常用逻辑用语 第3节　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词.doc

第3节　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
考试要求　1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；2.理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
1.简单的逻辑联结词
(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词.
(2)命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断
p
q
p∧q
p∨q
綈p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示.
(2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示.
3.全称命题和特称命题
名称
全称命题
特称命题
结构
对M中的任意一个x，有p(x)成立
存在M中的一个x0，使p(x0)成立
简记
∀x∈M，p(x)
∃x0∈M，p(x0)
否定
∃x0∈M，綈p(x0)
∀x∈M，綈p(x)
1.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与綈p→真假相反.
2.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.
3.“p∨q”的否定是“(綈p)∧(綈q)”，“p∧q”的否定是“(綈p)∨(綈q)”.
4.逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”，可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)命题“5>6或5>2”是假命题.(　　)
(2)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是假命题.(　　)
(3)“长方形的对角线相等”是特称命题.(　　)
(4)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
解析　(1)错误.命题p∨q中，p，q有一真则真.
(2)错误.p∧q是真命题，则p，q都是真命题.
(3)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题.
2.(2021·全国乙卷)已知命题p：∃x∈R，sin x<1；命题q：∀x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是(　　)
A.p∧q B.(綈p)∧q
C.p∧(綈q) D.綈(p∨q)
答案　A
解析　由正弦函数的图象及性质可知，存在x∈R，使得sin x<1，所以命题p为真命题.对任意的x∈R，均有e|x|≥e0＝1成立，故命题q为真命题，所以命题p∧q为真命题，故选A.
3.(2017·山东卷)已知命题p：∀x＞0，ln(x＋1)＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2.下列命题为真命题的是(　　)
A.p∧q B.p∧(綈q)
C.(綈p)∧q D.(綈p)∧(綈q)
答案　B
解析　由已知得p真，q假，故綈q真，所以p∧(綈q)真，故选B.
4.(易错题)命题p：“有些三角形是等腰三角形”，则綈p是________.
答案　所有三角形都不是等腰三角形
5.(易错题)命题“∀x∈R，ax2－ax＋1>0”为真命题，则实数a的取值范围为________.
答案　[0，4)
解析　①当a＝0时，1>0恒成立；
②当a≠0时，∴0<a<4.
综上0≤a<4.
6.(2021·合肥调研)能说明命题“∀x∈R且x≠0，x＋≥2”是假命题的x的值可以是________(写出一个即可).
答案　－1(任意负数)
解析　当x>0时，x＋≥2，当且仅当x＝1时取等号，
当x<0时，x＋≤－2，当且仅当x＝－1时取等号，
∴x的取值为负数即可，例如x＝－1.
考点一　含有逻辑联结词的命题
1.(2021·成都调研)已知命题p：函数y＝＋sin x，x∈(0，π)的最小值为2；命题q：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0.下列命题为真命题的是(　　)
A.(綈p)∧q B.p∨q
C.p∧(綈q) D.(綈p)∧(綈q)
答案　D
解析　命题p：函数y＝＋sin x，x∈(0，π)，由基本不等式成立的条件可知，y>2＝2，等号取不到，所以命题p是假命题.
命题q：取a＝c＝(1，0)，b＝(0，1)，显然a·b＝0，b·c＝0，但a·c＝1≠0，所以命题q是假命题.所以綈p为真，綈q为真.因此，只有(綈p)∧(綈q)为真命题.
2.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次.设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(　　)
A.(綈p)∨(綈q) B.p∧(綈q