人教版易错点14 计数原理（解析版）.docx

易错点14 计数原理
易错点1.基本计数原理错误
(1)分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类，并且只属于其中一类.
(2)分步乘法计数原理中，各个步骤中的方法相互依存，步与步之间“相互独立，分步完成”.
易错点2.排列与组合分辨不清
1.排列与组合的概念
名称
定义
排列
从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象
并按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列
组合
并成一组，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个组合
2.排列数与组合数
(1)从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有排列的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数，用符号A表示.
(2)从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有组合的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的组合数，用符号C表示.
3.排列数、组合数的公式及性质
公式
(1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝.
(2)C＝＝
＝(n，m∈N*，且m≤n).特别地C＝1
性质
(1)0！＝1；A＝n！.
(2)C＝C；C＋C＝C
易错点3.二项式定理相关公式和性质错误
1.二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)；
(2)通项公式：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C.
2.二项式系数的性质
性质
性质描述
对称性
与首末等距离的两个二项式系数相等，即C＝C
增减性
二项式系数C
当k＜(n∈N*)时，是递增的
当k＞(n∈N*)时，是递减的
二项式
系数最大值
当n为偶数时，中间的一项取得最大值
当n为奇数时，中间的两项与相等且取得最大值
3.各二项式系数和
(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n.
(2)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
1．北京某大学为第十八届四中全会招募了名志愿者（编号分别是，，…，号），现从中任意选取人按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作，其中三个编号较小的人在一组，三个编号较大的在另一组，那么确保号、号与号同时入选并被分配到同一厅的选取种数是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】要“确保6号、15号与24号入选并分配到同一厅”，则另外三人的编号或都小于6或都大于24，
根据分类加法计数原理可得选出的情况有种，
然后将选出的两组进行全排列对应江西厅、广电厅，故确保号、号与号同时入选并被分配到同一厅的选取种数是.
故选：C.
2．已知的展开式的各项系数之和为81，则（    ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【详解】由题意，令得：，解得：．
故选：B
3．电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（    ）.
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】先排4个商业广告，则，即存在5个空，再排2个公益广告，则，故总排法：，
故选：A.
4．的展开式中，的系数为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】的展开式的通项是，（）
由题意，，
因此，的系数是.
故选：B.
5．佳木斯市第一中学校为了做好疫情防控工作，组织了6名教师组成志愿服务小组，分配到东门、西门、中门3个楼门进行志愿服务.由于中门学生出入量较大，要求中门志愿者人数不少于另两个门志愿者人数，若每个楼门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个楼门进行服务，则不同的分配方法种数为（    ）
A．240 B．180 C．690 D．150
【答案】A
【详解】第一种情况，当中门的志愿者有3人时，其他两个门有1个门1人，1个门2人，有
种，
第二种情况，当中门有2人时，其他两个门也分别是2人，种，
第三种情况，当中门有4人时，其他两个们分别1人，有种，
所以不同的分配方法种数是.
故选：A
1．有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（    ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
【答案】B
【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺